解説

方針・初手

$\log x$ を一つのかたまりとして扱い、微分では積の微分と合成関数の微分を使う。

増減は $f'(x)$ の符号、変曲点は $f''(x)$ の符号変化で調べる。面積は、変曲点を通る鉛直線が $x=\dfrac{1}{e}$ であることを使い、$x=\dfrac{1}{e}$ から $x=1$ までの定積分として表す。

解法1

まず

$$ f(x)=x(\log x)^2

$$

を微分する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &=(\log x)^2+x\cdot 2\log x\cdot \frac{1}{x} \\ &=(\log x)^2+2\log x \\ &=\log x(\log x+2) \end{aligned}

$$

したがって、$f'(x)=0$ となるのは

$$ \log x=0,\quad \log x=-2

$$

より

$$ x=1,\quad x=e^{-2}

$$

である。

$x>0$ において、$\log x$ の値で符号を調べると、

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & e^{-2} & \cdots & 1 & \cdots & \infty \\ \hline \log x & & - & -2 & - & 0 & + & \\ \log x+2 & & - & 0 & + & + & + & \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & \dfrac{4}{e^2} & \searrow & 0 & \nearrow & \infty \end{array}

$$

ここで、問題文より

$$ \lim_{x\to +0}x(\log x)^2=0

$$

である。また、

$$ f(e^{-2})=e^{-2}(-2)^2=\frac{4}{e^2},\qquad f(1)=1\cdot 0^2=0

$$

である。

よって、増減表より、$x=e^{-2}$ で極大値 $\dfrac{4}{e^2}$ をとり、$x=1$ で極小値 $0$ をとる。

次に、変曲点を求める。$f'(x)=\log x(\log x+2)$ より、

$$ \begin{aligned} f''(x) &=\frac{1}{x}(\log x+2)+\log x\cdot \frac{1}{x} \\ &=\frac{2\log x+2}{x} \\ &=\frac{2(\log x+1)}{x} \end{aligned}

$$

$x>0$ では $x$ は正であるから、$f''(x)$ の符号は $\log x+1$ の符号で決まる。

$$ f''(x)=0

$$

となるのは

$$ \log x+1=0

$$

より

$$ x=e^{-1}

$$

である。

また、$x<e^{-1}$ では $\log x+1<0$、$x>e^{-1}$ では $\log x+1>0$ であるから、$x=e^{-1}$ で $f''(x)$ の符号が負から正に変わる。

したがって、変曲点の $y$ 座標は

$$ f(e^{-1})=e^{-1}(-1)^2=\frac{1}{e}

$$

である。

よって、変曲点の座標は

$$ \left(\frac{1}{e},\frac{1}{e}\right)

$$

である。

次に、不定積分を求める。部分積分を用いる。

$$ \int x\log x,dx

$$

において、

$$ u=\log x,\qquad dv=x,dx

$$

とおくと、

$$ du=\frac{1}{x},dx,\qquad v=\frac{x^2}{2}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \int x\log x,dx &=\frac{x^2}{2}\log x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x},dx \\ &=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{1}{2}\int x,dx \\ &=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}+C \end{aligned}

$$

よって、

$$ \int x\log x,dx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}+C

$$

である。

最後に、面積 $S$ を求める。

変曲点を通り、$y$ 軸に平行な直線 $l$ は

$$ x=\frac{1}{e}

$$

である。

また、$y=f(x)$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わる。$f(x)=x(\log x)^2\geqq 0$ であるから、求める図形の面積は

$$ S=\int_{1/e}^{1}x(\log x)^2,dx

$$

である。

ここで、部分積分により

$$ \begin{aligned} \int x(\log x)^2,dx &=\frac{x^2}{2}(\log x)^2-\int \frac{x^2}{2}\cdot 2\log x\cdot \frac{1}{x},dx \\ &=\frac{x^2}{2}(\log x)^2-\int x\log x,dx \end{aligned}

$$

である。

先ほど求めた

$$ \int x\log x,dx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}+C

$$

を用いると、

$$ \int x(\log x)^2,dx =\frac{x^2}{2}(\log x)^2-\frac{x^2}{2}\log x+\frac{x^2}{4}+C

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} S &=\left[\frac{x^2}{2}(\log x)^2-\frac{x^2}{2}\log x+\frac{x^2}{4}\right]_{1/e}^{1} \end{aligned}

$$

となる。

$x=1$ のとき、

$$ \frac{x^2}{2}(\log x)^2-\frac{x^2}{2}\log x+\frac{x^2}{4} =\frac{1}{4}

$$

である。

$x=\dfrac{1}{e}$ のとき、$\log \dfrac{1}{e}=-1$ であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{x^2}{2}(\log x)^2-\frac{x^2}{2}\log x+\frac{x^2}{4} &=\frac{e^{-2}}{2}\cdot 1-\frac{e^{-2}}{2}\cdot (-1)+\frac{e^{-2}}{4} \\ &=\frac{1}{2e^2}+\frac{1}{2e^2}+\frac{1}{4e^2} \\ &=\frac{5}{4e^2} \end{aligned}

$$

よって、

$$ S=\frac{1}{4}-\frac{5}{4e^2} =\frac{e^2-5}{4e^2}

$$

である。

解説

この問題では、$\log x$ の符号に注目して増減を調べることが重要である。$f'(x)=\log x(\log x+2)$ と因数分解できるため、臨界点は $x=e^{-2},1$ とすぐに分かる。

変曲点は $f''(x)$ の符号変化で判定する。$f''(x)=\dfrac{2(\log x+1)}{x}$ であり、$x>0$ では分母が正なので、符号は $\log x+1$ だけで決まる。

面積では、変曲点を通る $y$ 軸に平行な直線が $x=\dfrac{1}{e}$ であることをまず押さえる。右側にあり、$x$ 軸とグラフで囲まれる部分は $x=\dfrac{1}{e}$ から $x=1$ までであるため、面積は $\int_{1/e}^{1}x(\log x)^2,dx$ となる。

答え

**(1)**

増減表は

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & e^{-2} & \cdots & 1 & \cdots & \infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & \dfrac{4}{e^2} & \searrow & 0 & \nearrow & \infty \end{array}

$$

極大値は

$$ \frac{4}{e^2}

$$

極小値は

$$ 0

$$

である。

**(2)**

変曲点の座標は

$$ \left(\frac{1}{e},\frac{1}{e}\right)

$$

である。

**(3)**

$$ \int x\log x,dx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}+C

$$

である。

**(4)**

$$ S=\frac{e^2-5}{4e^2}

$$

である。