解説

方針・初手

まず微分して増減を調べるのが自然である。

$$ F'(x)=(x-a)\sin x

$$

であるから、$0\le x\le \dfrac{3\pi}{2}$ における $\sin x$ の符号と、$x-a$ の符号を組み合わせれば $F(x)$ の増減が分かる。 そのうえで、極値をとりうる点 $x=0,\ a,\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2}$ における値を比較する。

解法1

まず $F(x)$ を計算しておく。

$$ \begin{aligned} F(x) &=\int_0^x (t-a)\sin t,dt \\ &=\left[-t\cos t+\sin t+a\cos t\right]_0^x \\ &=(a-x)\cos x+\sin x-a \end{aligned}

$$

したがって

$$ F'(x)=(x-a)\sin x

$$

である。

ここで $0<a<\dfrac{\pi}{2}$ であるから、区間ごとに符号を調べると

• $0\le x<a$ では $x-a<0,\ \sin x\ge 0$ より $F'(x)<0$
• $a<x<\pi$ では $x-a>0,\ \sin x>0$ より $F'(x)>0$
• $\pi<x\le \dfrac{3\pi}{2}$ では $x-a>0,\ \sin x<0$ より $F'(x)<0$

となる。

よって $F(x)$ は

• $[0,a]$ で減少
• $[a,\pi]$ で増加
• $[\pi,\dfrac{3\pi}{2}]$ で減少

する。

したがって、最大値候補は $x=\pi$、最小値候補は $x=a,\ \dfrac{3\pi}{2}$ である。 それぞれの値を求めると

$$ F(0)=0

$$

$$ F(a)=\sin a-a

$$

$$ F(\pi)=(a-\pi)\cos\pi+\sin\pi-a=\pi-2a

$$

$$ F\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=\left(a-\dfrac{3\pi}{2}\right)\cos\dfrac{3\pi}{2}+\sin\dfrac{3\pi}{2}-a=-1-a

$$

である。

まず最大値について、$0<a<\dfrac{\pi}{2}$ より

$$ \pi-2a>0=F(0)

$$

であるから、最大値は

$$ \pi-2a

$$

である。

次に最小値については

$$ F(a)-F\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) =(\sin a-a)-(-1-a) =\sin a+1>0

$$

より

$$ F\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)<F(a)

$$

である。よって最小値は

$$ -1-a

$$

である。

次に、最大値と最小値の積を

$$ P(a)=(\pi-2a)(-1-a)

$$

とおくと

$$ \begin{aligned} P(a) &=-(\pi-2a)(1+a) \\ &=2a^2-(\pi-2)a-\pi \end{aligned}

$$

となる。

これは $a$ の2次関数で、上に凸であるから、最小値は頂点でとる。 微分すると

$$ P'(a)=4a-(\pi-2)

$$

であるから

$$ P'(a)=0 \iff a=\dfrac{\pi-2}{4}

$$

となる。さらに

$$ P''(a)=4>0

$$

であるから、このとき $P(a)$ は最小となる。

解説

この問題の本質は、積分そのものよりも

$$ F'(x)=(x-a)\sin x

$$

の符号を見ることである。

$0<a<\dfrac{\pi}{2}$ という条件により、$x=a$ が $\sin x$ の正の区間 $(0,\pi)$ の中に入る。そのため、

• $x=a$ で減少から増加に変わる
• $x=\pi$ で増加から減少に変わる

という増減が明確になる。

ただし、最小値は局所最小の $x=a$ とは限らず、区間の右端 $x=\dfrac{3\pi}{2}$ と比較する必要がある。ここを省くと誤る。

答え

**(1)**

最大値は

$$ \pi-2a

$$

最小値は

$$ -1-a

$$

である。

**(2)**

**(1)**

の最大値と最小値の積を最小にする $a$ は

$$ a=\dfrac{\pi-2}{4}

$$

である。