解説

方針・初手

不等式

$$ \sin x \leqq y \leqq \sin 2x

$$

が表す領域が存在するには、まず

$$ \sin x \leqq \sin 2x

$$

である必要がある。したがって、$0 \leqq x \leqq \pi$ の範囲で $\sin x$ と $\sin 2x$ の上下関係を調べ、その差を積分する。

解法1

まず、領域が存在する $x$ の範囲を求める。

$$ \sin x \leqq \sin 2x

$$

より、

$$ \sin 2x-\sin x \geqq 0

$$

である。ここで $\sin 2x=2\sin x\cos x$ だから、

$$ \begin{aligned} \sin 2x-\sin x &= 2\sin x\cos x-\sin x \\ \sin x(2\cos x-1) \end{aligned} $$

となる。

$0 \leqq x \leqq \pi$ では $\sin x \geqq 0$ である。したがって、

$$ \sin x(2\cos x-1)\geqq 0

$$

となるのは、$\sin x=0$ となる端点を含めて

$$ 2\cos x-1\geqq 0

$$

すなわち

$$ \cos x \geqq \frac{1}{2}

$$

のときである。

$0 \leqq x \leqq \pi$ においてこれは

$$ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}

$$

を意味する。

よって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^{\pi/3}(\sin 2x-\sin x),dx

$$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^{\pi/3}(\sin 2x-\sin x),dx\\ &=\left[-\frac{1}{2}\cos 2x+\cos x\right]_0^{\pi/3} \end{aligned}

$$

となる。

上端では

$$ \begin{aligned} -\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3} &= -\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4}+\frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} \end{aligned} $$

であり、下端では

$$ \begin{aligned} -\frac{1}{2}\cos 0+\cos 0 &= -\frac{1}{2}+1 \\ \frac{1}{2} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ S=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}

$$

である。

解説

この問題では、単に $0 \leqq x \leqq \pi$ 全体で積分してはいけない。条件が

$$ \sin x \leqq y \leqq \sin 2x

$$

である以上、$\sin x \leqq \sin 2x$ が成り立つ範囲でしか領域は存在しない。

特に $x>\frac{\pi}{3}$ では $\sin x>\sin 2x$ となるため、この範囲には条件を満たす点は存在しない。したがって、上下関係を調べてから積分区間を決めることが重要である。

答え

$$ \frac{1}{4}

$$