解説

方針・初手

(1) は $\dfrac{1}{1+x^2}$ が $\arctan x$ の導関数であることを使う。

(2) は実際に積分を計算する必要はない。$0\leqq x\leqq 1$ における $x^4$ と $x^2$ の大小を利用して、被積分関数を $\dfrac{1}{1+x^2}$ と $1$ で挟む。

解法1

(1) について、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{1+x^2},dx &= \left[\arctan x\right]_0^1 \\ \arctan 1-\arctan 0 \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \arctan 1=\frac{\pi}{4},\qquad \arctan 0=0

$$

より、

$$ \int_0^1 \frac{1}{1+x^2},dx=\frac{\pi}{4}

$$

となる。

次に (2) を示す。

まず、$0<x<1$ において

$$ x^4<x^2

$$

であるから、

$$ 1+x^4<1+x^2

$$

である。両辺は正なので逆数をとると不等号の向きが逆になり、

$$ \frac{1}{1+x^4}>\frac{1}{1+x^2}

$$

となる。

したがって、$0<x<1$ で上の不等式が成り立つので、

$$ \int_0^1 \frac{1}{1+x^4},dx

>

\int_0^1 \frac{1}{1+x^2},dx

$$

である。(1) の結果より、

$$ \int_0^1 \frac{1}{1+x^4},dx

>

\frac{\pi}{4}

$$

が得られる。

一方、$0<x\leqq 1$ において

$$ 1+x^4>1

$$

であるから、

$$ \frac{1}{1+x^4}<1

$$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{1+x^4},dx &< \int_0^1 1,dx \\ &= 1 \end{aligned} $$

となる。

以上より、

$$ \frac{\pi}{4} < \int_0^1 \frac{1}{1+x^4},dx < 1

$$

が成り立つ。

解説

この問題の中心は、(2) の積分を直接計算しようとしないことである。

$0\leqq x\leqq 1$ では、指数が大きいほど値は小さくなるため、$x^4\leqq x^2$ が成り立つ。分母が小さいほど分数全体は大きくなるので、

$$ \frac{1}{1+x^4}\geqq \frac{1}{1+x^2}

$$

と比較できる。ここで (1) の結果がそのまま下からの評価に使える。

また、上からは単純に

$$ \frac{1}{1+x^4}<1

$$

と評価すればよい。定積分の不等式では、被積分関数を区間上で比較するのが基本である。

答え

**(1)**

$$ \int_0^1 \frac{1}{1+x^2},dx=\frac{\pi}{4}

$$

**(2)**

$$ \frac{\pi}{4} < \int_0^1 \frac{1}{1+x^4},dx < 1

$$