基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題106 解説
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解説
方針・初手
交点は $e^x>0$ を利用して、共通因子 $e^x$ を消す。面積は、交点の $x$ 座標である $-k,\ k$ の間で、どちらの曲線が上にあるかを確認してから定積分で求める。
解法1
$e^x>0$ より、交点では
$$ ke^x=|x|e^x
$$
から
$$ k=|x|
$$
である。$k$ は正の定数だから、
$$ x=-k,\ k
$$
となる。
よって、2曲線の交点の $x$ 座標は $-k,\ k$ である。
次に、$-k\leqq x\leqq k$ において
$$ k-|x|\geqq 0
$$
だから、
$$ ke^x\geqq |x|e^x
$$
である。したがって、この範囲では $C_1:y=ke^x$ が上側、$C_2:y=|x|e^x$ が下側にある。
よって、囲まれた部分の面積を $S$ とすると、
$$ S=\int_{-k}^{k}{ke^x-|x|e^x},dx
$$
である。絶対値を外すために $x=0$ で分ける。
$$ S=\int_{-k}^{0}(k+x)e^x,dx+\int_{0}^{k}(k-x)e^x,dx
$$
まず、
$$ \int (k+x)e^x,dx=(k+x-1)e^x
$$
であるから、
$$ \int_{-k}^{0}(k+x)e^x,dx =(k-1)-(-e^{-k}) =k-1+e^{-k}
$$
である。
また、
$$ \int (k-x)e^x,dx=(k-x+1)e^x
$$
であるから、
$$ \int_{0}^{k}(k-x)e^x,dx =e^k-(k+1)
$$
である。
したがって、
$$ S=(k-1+e^{-k})+{e^k-(k+1)}
$$
より、
$$ S=e^k+e^{-k}-2
$$
となる。
面積が $2$ になる条件は
$$ e^k+e^{-k}-2=2
$$
すなわち
$$ e^k+e^{-k}=4
$$
である。
ここで $t=e^k$ とおくと、$k>0$ より $t>1$ であり、
$$ t+\frac{1}{t}=4
$$
となる。両辺に $t$ をかけて、
$$ t^2-4t+1=0
$$
を得る。
これを解くと、
$$ t=2\pm\sqrt{3}
$$
である。$t>1$ だから、
$$ t=2+\sqrt{3}
$$
である。
よって、
$$ e^k=2+\sqrt{3}
$$
となり、
$$ k=\log(2+\sqrt{3})
$$
である。
解説
この問題の要点は、$e^x$ が常に正であるため、交点条件を $k=|x|$ に簡単化できる点である。
面積計算では、$|x|$ を含むため $x=0$ で積分範囲を分ける必要がある。また、$[-k,k]$ では $k-|x|\geqq0$ なので、上側の曲線は常に $C_1$ である。この確認を省くと、面積の符号を誤る可能性がある。
最後は $e^k+e^{-k}=4$ という形になるので、$t=e^k$ とおけば2次方程式に帰着できる。
答え
**(1)**
$$ x=-k,\ k
$$
**(2)**
$$ k=\log(2+\sqrt{3})
$$