解説

方針・初手

与えられた和は

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cos^2\frac{k\pi}{4n}

$$

という形であり、これは区間 $[0,1]$ におけるリーマン和とみなせる。 したがって、対応する定積分

$$ \int_0^1 \cos^2\frac{\pi x}{4},dx

$$

を計算すればよい。

解法1

$x_k=\dfrac{k}{n}$ とおくと、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n}\cos^2\frac{k\pi}{4n} &= \cos^2\frac{\pi x_k}{4}\cdot \frac{1}{n} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cos^2\frac{k\pi}{4n}

$$

は関数 $f(x)=\cos^2\dfrac{\pi x}{4}$ の区間 $[0,1]$ におけるリーマン和である。 よって

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cos^2\frac{k\pi}{4n} &= \int_0^1 \cos^2\frac{\pi x}{4},dx \end{aligned} $$

となる。

ここで、公式

$$ \cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \cos^2\frac{\pi x}{4} &= \frac{1+\cos\frac{\pi x}{2}}{2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \cos^2\frac{\pi x}{4},dx &= \frac12\int_0^1 1,dx+\frac12\int_0^1 \cos\frac{\pi x}{2},dx \end{aligned} $$

となる。

順に計算すると、

$$ \frac12\int_0^1 1,dx=\frac12

$$

また、

$$ \begin{aligned} \frac12\int_0^1 \cos\frac{\pi x}{2},dx &= \frac12\cdot \left[\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2}\right]_0^1 \\ \frac12\cdot \frac{2}{\pi} \\ \frac{1}{\pi} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \cos^2\frac{\pi x}{4},dx &= \frac12+\frac1\pi \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cos^2\frac{k\pi}{4n} &= \frac12+\frac1\pi \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の本質は、$\dfrac{1}{n}$ が区間分割の幅、$\dfrac{k}{n}$ が標本点になっていることを見抜いて、和を定積分に直すことである。

$\cos^2$ のまま積分しにくいと感じたら、

$$ \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}

$$

を使うのが典型処理である。 リーマン和から定積分へ直す問題では、まず $\dfrac{k}{n}$ の形を作ることが重要である。

答え

$$ \frac12+\frac1\pi

$$