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数学3 積分法「定積分・面積」の問題108 解説

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数学3積分法定積分・面積問題108

解説

各項の分母から $n^2$ をくくると、和全体がリーマン和の形に見えてくる。

実際、$k$ 番目の項は

$$ \frac{n}{n^2+k^2} =\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}

となるので、$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ の形に直せば定積分に移せる。

与えられた和を

$$ S_n=\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}

とおく。

各項を変形すると、

$$ \frac{n}{n^2+k^2} =\frac{n}{n^2\left(1+\left(\frac{k}{n}\right)^2\right)} =\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}

である。したがって

$$ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}

となる。

ここで

$$ f(x)=\frac{1}{1+x^2}

とおけば、$f(x)$ は $[0,1]$ 上で連続であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} S_n &= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2},dx \end{aligned} $$

である。

この積分を計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{1+x^2},dx &= \left[\arctan x\right]_0^1 \\ \frac{\pi}{4}-0 \\ \frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

よって求める極限値は

$$ \frac{\pi}{4}

である。

この問題の本質は、和をそのまま計算しようとするのではなく、$\frac{k}{n}$ と $\frac{1}{n}$ を作ってリーマン和に直すことである。

特に

$$ \begin{aligned} \frac{n}{n^2+k^2} &= \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2} \end{aligned} $$

という変形が決定的であり、これにより関数 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ の区間 $[0,1]$ における定積分へ移る。

$$ \frac{\pi}{4}