基礎問題集

数学3 積分法「定積分・面積」の問題109 解説

数学3の積分法「定積分・面積」にある問題109の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。

MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。

数学3積分法定積分・面積問題109

解説

被積分関数は

$$ \frac{x^2+2}{x+2}

であり、分子の次数が分母の次数より高い。したがって、まず多項式の割り算をして、積分しやすい形に直すのが自然である。

まず、$x^2+2$ を $x+2$ で割る。

$$ x^2+2=(x+2)(x-2)+6

よって、

$$ \frac{x^2+2}{x+2}=x-2+\frac{6}{x+2}

となる。したがって、求める定積分は

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{x^2+2}{x+2},dx &= \int_0^1 \left(x-2+\frac{6}{x+2}\right),dx \end{aligned} $$

である。

これを項別に積分すると、

$$ \begin{aligned} \int \left(x-2+\frac{6}{x+2}\right),dx &= \frac{x^2}{2}-2x+6\log(x+2) \end{aligned} $$

となる。区間 $0\leqq x\leqq 1$ では $x+2>0$ であるから、$\log(x+2)$ はそのまま扱える。

よって、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{x^2+2}{x+2},dx &= \left[\frac{x^2}{2}-2x+6\log(x+2)\right]_0^1 \end{aligned} $$

# $$

\left(\frac{1}{2}-2+6\log 3\right)-\left(0+0+6\log 2\right)

$$ \begin{aligned} -\frac{3}{2}+6\log\frac{3}{2} \end{aligned} $$

となる。

この問題の要点は、分母が一次式で分子が二次式であるとき、まず割り算をして

$$ \text{多項式}+\frac{\text{定数}}{\text{一次式}}

の形に直すことである。こうすると、あとは基本的な積分公式だけで処理できる。

最初から置換を考えるより、式変形で見通しを立てる方が確実である。

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{x^2+2}{x+2},dx &= -\frac{3}{2}+6\log\frac{3}{2} \end{aligned} $$