解説

方針・初手

絶対値を含む定積分は，被積分関数の符号が変わる点で積分区間を分けるのが基本である。

ここでは

$$ \cos x-\frac{1}{2}=0

$$

となる点をまず求める。

解法1

区間 $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ において，$\cos x$ は単調に減少する。

したがって，

$$ \cos x-\frac{1}{2}=0

$$

より

$$ \cos x=\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}

$$

であり，この点を境に符号が変わる。

実際，

**(i)**

$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{3}$ では $\cos x\geqq \dfrac{1}{2}$ だから，

$$ \left|\cos x-\frac{1}{2}\right|=\cos x-\frac{1}{2}

$$

**(ii)**

$\dfrac{\pi}{3}\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x\leqq \dfrac{1}{2}$ だから，

$$ \left|\cos x-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}-\cos x

$$

よって，求める積分は

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\left|\cos x-\frac{1}{2}\right|dx &= \int_0^{\pi/3}\left(\cos x-\frac{1}{2}\right)dx + \int_{\pi/3}^{\pi/2}\left(\frac{1}{2}-\cos x\right)dx \end{aligned} $$

となる。

それぞれ計算すると，

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/3}\left(\cos x-\frac{1}{2}\right)dx &= \left[\sin x-\frac{x}{2}\right]_0^{\pi/3} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6} \end{aligned} $$

また，

$$ \begin{aligned} \int_{\pi/3}^{\pi/2}\left(\frac{1}{2}-\cos x\right)dx &= \left[\frac{x}{2}-\sin x\right]_{\pi/3}^{\pi/2} \\ \left(\frac{\pi}{4}-1\right)-\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ \frac{\pi}{12}-1+\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

したがって，

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\left|\cos x-\frac{1}{2}\right|dx &= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}\right) + \left(\frac{\pi}{12}-1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) &= \sqrt{3}-1-\frac{\pi}{12} \end{aligned} $$

解説

絶対値付きの積分では，中身が $0$ になる点を見つけて区間を分けることが最重要である。

この問題では $\cos x$ が $[0,\frac{\pi}{2}]$ で単調減少するため，符号変化の位置が $x=\frac{\pi}{3}$ とすぐに決まる。あとは絶対値を外して通常の定積分を計算すればよい。

答え

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\left|\cos x-\frac{1}{2}\right|dx &= \sqrt{3}-1-\frac{\pi}{12} \end{aligned} $$