基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題111 解説
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解説
方針・初手
被積分関数は $x\log(x^2+1)$ であり、$x^2+1$ の微分が $2x$ になる。したがって、$x,dx$ をまとめて置換積分を行うのが最も自然である。
解法1
求める積分を
$$ I=\int_0^1 x\log(x^2+1),dx
$$
とおく。
ここで
$$ t=x^2+1
$$
と置くと、
$$ dt=2x,dx
$$
であるから、
$$ x,dx=\frac{1}{2}dt
$$
となる。また、積分区間は
$$ x=0\ \Rightarrow\ t=1,\qquad x=1\ \Rightarrow\ t=2
$$
と変わる。
したがって、
$$ I=\frac{1}{2}\int_1^2 \log t,dt
$$
となる。
ここで
$$ \int \log t,dt=t\log t-t
$$
であるから、
$$ I=\frac{1}{2}\left[t\log t-t\right]_1^2
$$
となる。これを計算すると、
$$ I=\frac{1}{2}\left\{(2\log 2-2)-(1\cdot \log 1-1)\right\}
$$
であり、$\log 1=0$ より、
$$ I=\frac{1}{2}(2\log 2-1)
$$
したがって、
$$ I=\log 2-\frac{1}{2}
$$
である。
解説
この問題の要点は、$\log(x^2+1)$ の中身 $x^2+1$ の微分に $x$ が含まれていることに気づくことである。実際、$dt=2x,dx$ となるため、置換によって対数の基本的な積分 $\int \log t,dt$ に帰着できる。
無理に部分積分を使うよりも、まず「中身の微分があるか」を確認するのが典型的な見方である。
答え
$$ \int_0^1 x\log(x^2+1),dx=\log 2-\frac{1}{2}
$$