解説

方針・初手

各項

$$ \frac{1}{n+ik}

$$

を実部と虚部に分ける。

すると $A_n,\ B_n$ はいずれも $\frac{1}{n}$ を幅とする和になり、$k/n$ を変数とみればリーマン和として極限を求められる。

解法1

まず、分母を有理化すると

$$ \frac{1}{n+ik} =\frac{n-ik}{n^2+k^2} =\frac{n}{n^2+k^2}-i\frac{k}{n^2+k^2}

$$

である。したがって

$$ A_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}, \qquad B_n=-\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2+k^2}

$$

となる。

ここで分子分母を $n^2$ で割ると

$$ A_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}

$$

$$ B_n=-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot \frac{\frac{k}{n}}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}

$$

を得る。

したがって $n\to\infty$ のとき、これらはそれぞれ区間 $[0,1]$ におけるリーマン和の極限となるので

$$ \lim_{n\to\infty}A_n=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2},dx

$$

$$ \lim_{n\to\infty}B_n=-\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2},dx

$$

である。

順に計算すると

$$ \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2},dx =\left[\arctan x\right]_{0}^{1} =\frac{\pi}{4}

$$

また

$$ \int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2},dx =\frac12\int_{0}^{1}\frac{2x}{1+x^2},dx =\frac12\left[\log(1+x^2)\right]_{0}^{1} =\frac12\log 2

$$

であるから

$$ \lim_{n\to\infty}B_n=-\frac12\log 2

$$

となる。

以上より

$$ \lim_{n\to\infty}A_n=\frac{\pi}{4}, \qquad \lim_{n\to\infty}B_n=-\frac12\log 2

$$

である。

解説

複素数の和であっても、各項を実部と虚部に分ければ実数の和として扱える。今回は

$$ \frac{1}{n+ik}

$$

の形から $k/n$ を導入すると、どちらも典型的なリーマン和になる。

特に虚部は負号を落としやすいので、

$$ \frac{1}{n+ik}=\frac{n}{n^2+k^2}-i\frac{k}{n^2+k^2}

$$

の形を最初に正確に確認することが重要である。

答え

$$ \lim_{n\to\infty}A_n=\frac{\pi}{4}, \qquad \lim_{n\to\infty}B_n=-\frac12\log 2

$$