解説

方針・初手

(1), (2) はどちらも「対数関数 $\log x$ が単調増加である」ことを使う問題である。

(3) では、(1) で和の上からの評価を作り、(2) を用いて積分による下からの評価を作る。上下から同じ極限に挟めばよい。

解法1

まず、$\log x$ は $x>0$ で単調増加である。

**(1)**

$2 \leqq k \leqq n$ のとき、$k \leqq n$ であるから、単調増加性より

$$ \log k \leqq \log n

$$

が成り立つ。

これを $k=2,3,\dots,n$ について加えると、左辺は

$$ \sum_{k=2}^{n}\log k

$$

となり、右辺は $\log n$ が $n-1$ 個あるので

$$ (n-1)\log n

$$

となる。したがって

$$ \sum_{k=2}^{n}\log k \leqq (n-1)\log n

$$

が成り立つ。

**(2)**

$k \geqq 2$ とする。$k-1 \leqq x \leqq k$ において、$x \leqq k$ であるから、単調増加性より

$$ \log x \leqq \log k

$$

が成り立つ。

したがって、両辺を $x=k-1$ から $x=k$ まで積分して

$$ \int_{k-1}^{k}\log x,dx \leqq \int_{k-1}^{k}\log k,dx

$$

となる。右辺は

$$ \int_{k-1}^{k}\log k,dx = \log k \cdot {k-(k-1)} = \log k

$$

であるから、

$$ \int_{k-1}^{k}\log x,dx \leqq \log k

$$

が成り立つ。

**(3)**

(1) より、

$$ \sum_{k=2}^{n}\log k \leqq (n-1)\log n

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n\log n}\sum_{k=2}^{n}\log k \leqq \frac{(n-1)\log n}{n\log n} &= \frac{n-1}{n} \end{aligned} $$

となる。

次に、(2) より、各 $k=2,3,\dots,n$ について

$$ \int_{k-1}^{k}\log x,dx \leqq \log k

$$

である。これを $k=2$ から $n$ まで加えると、

$$ \sum_{k=2}^{n}\int_{k-1}^{k}\log x,dx \leqq \sum_{k=2}^{n}\log k

$$

となる。左辺は区間 $[1,n]$ 上の積分にまとめられるので、

$$ \int_{1}^{n}\log x,dx \leqq \sum_{k=2}^{n}\log k

$$

である。

ここで、

$$ \int \log x,dx=x\log x-x+C

$$

より、

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{n}\log x,dx &= \left[x\log x-x\right]_{1}^{n} \\ n\log n-n+1 \end{aligned} $$

である。したがって

$$ n\log n-n+1 \leqq \sum_{k=2}^{n}\log k

$$

となる。

よって、$n\log n>0$ で割ると

$$ \frac{n\log n-n+1}{n\log n} \leqq \frac{1}{n\log n}\sum_{k=2}^{n}\log k \leqq \frac{n-1}{n}

$$

を得る。

左辺は

$$ \begin{aligned} \frac{n\log n-n+1}{n\log n} &= 1-\frac{1}{\log n}+\frac{1}{n\log n} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{1}{\log n}+\frac{1}{n\log n} \right) =1

$$

である。また、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n}=1

$$

である。

したがって、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n\log n}\sum_{k=2}^{n}\log k =1

$$

である。

解説

この問題の中心は、$\log x$ の単調増加性を「和の評価」と「積分の評価」の両方に使う点である。

(1) は、すべての $\log k$ を最大値 $\log n$ で上から押さえるだけでよい。

(2) は、区間 $[k-1,k]$ 上で $\log x \leqq \log k$ となることを積分する。

(3) では、(1) から上側評価を得るだけでは極限値を確定できない。下側評価として、(2) を足し合わせて

$$ \int_1^n \log x,dx \leqq \sum_{k=2}^{n}\log k

$$

を作ることが重要である。これにより、求める式を上下から $1$ に近づく量で挟める。

答え

**(1)**

$$ \sum_{k=2}^{n}\log k \leqq (n-1)\log n

$$

が成り立つ。

**(2)**

$$ \int_{k-1}^{k}\log x,dx \leqq \log k

$$

が成り立つ。

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n\log n}\sum_{k=2}^{n}\log k =1

$$