解説

方針・初手

与えられた等式は積分方程式であるが，被積分関数が $(x-t)f'(t)$ の形なので，$x$ で微分すると大きく簡単になる。

まず $x=0$ を代入して $f(0)$ を求める。次に積分の微分公式を用いて $f'(x)$ に関する微分方程式を得る。そこから積分因子 $e^x$ を用いて $f(x)$ を決定する。

解法1

**(1)**

与式

$$ f(x)=x^2-\int_0^x (x-t)f'(t),dt

$$

に $x=0$ を代入すると，

$$ f(0)=0^2-\int_0^0 (0-t)f'(t),dt=0

$$

となる。よって，

$$ f(0)=0

$$

である。

次に与式を $x$ で微分する。積分部分を

$$ I(x)=\int_0^x (x-t)f'(t),dt

$$

とおくと，ライプニッツの公式より

$$ I'(x)=(x-x)f'(x)+\int_0^x \frac{\partial}{\partial x}{(x-t)f'(t)},dt =\int_0^x f'(t),dt

$$

である。したがって，

$$ I'(x)=f(x)-f(0)=f(x)

$$

となる。ここで $f(0)=0$ を用いた。

よって与式を微分して

$$ f'(x)=2x-I'(x)=2x-f(x)

$$

を得る。すなわち，

$$ f'(x)=2x-f(x)

$$

が成り立つ。

**(2)**

（1） で得た式

$$ f'(x)+f(x)=2x

$$

の両辺に $e^x$ を掛けると，

$$ e^x f'(x)+e^x f(x)=2xe^x

$$

となる。左辺は積の微分そのものであるから，

$$ {e^x f(x)}'=2xe^x

$$

が示された。

**(3)**

（2） を積分する。

$$ {e^x f(x)}'=2xe^x

$$

を $0$ から $x$ まで積分すると，

$$ e^x f(x)-e^0 f(0)=\int_0^x 2te^t,dt

$$

となる。ここで $f(0)=0$ であるから，

$$ e^x f(x)=\int_0^x 2te^t,dt

$$

を得る。

右辺を計算する。部分積分により

$$ \int 2te^t,dt=2(t-1)e^t+C

$$

だから，

$$ \int_0^x 2te^t,dt =2(x-1)e^x-2(0-1)e^0 =2(x-1)e^x+2

$$

である。したがって，

$$ e^x f(x)=2(x-1)e^x+2

$$

より，

$$ f(x)=2(x-1)+2e^{-x}

$$

となる。すなわち，

$$ f(x)=2x-2+2e^{-x}

$$

である。

解説

この問題の要点は，積分方程式をそのまま扱うのではなく，微分して一次の微分方程式に直すことである。

特に

$$ \int_0^x (x-t)f'(t),dt

$$

は上端にも $x$ があり，被積分関数にも $x$ が含まれているので，微分の際にはライプニッツの公式を正確に使う必要がある。そこから

$$ f'(x)+f(x)=2x

$$

が得られれば，あとは積分因子 $e^x$ を用いる典型問題になる。

答え

$$ \text{（1） } f(0)=0,\qquad f'(x)=2x-f(x)

$$

$$ \text{（2） } {e^x f(x)}'=2xe^x

$$

$$ \text{（3） } f(x)=2x-2+2e^{-x}

$$