解説

方針・初手

媒介変数表示のまま微分して接線の傾きを求めるのが最も素直である。接線の式が得られたら、$x$ 軸・$y$ 軸との交点を出して三角形の面積を求め、最後に $\alpha=\sin\theta+\cos\theta$ で整理する。

解法1

以下、$\sin\theta=s,\ \cos\theta=c$ とおく。

**(1)**

曲線 $C$ は

$$ x=\frac{\cos t}{1-\sin t},\qquad y=\frac{\sin t}{1-\cos t}

$$

で与えられているから、$t$ で微分すると

$$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \frac{(-\sin t)(1-\sin t)-\cos t(-\cos t)}{(1-\sin t)^2} \\ \frac{-\sin t+\sin^2 t+\cos^2 t}{(1-\sin t)^2} \\ \frac{1-\sin t}{(1-\sin t)^2} \\ \frac{1}{1-\sin t} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= \frac{\cos t(1-\cos t)-\sin t\sin t}{(1-\cos t)^2} \\ \frac{\cos t-\cos^2 t-\sin^2 t}{(1-\cos t)^2} \\ \frac{\cos t-1}{(1-\cos t)^2} \\ -\frac{1}{1-\cos t} \end{aligned} $$

したがって、接線の傾きは

$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy/dt}{dx/dt} \\ -\frac{1-\sin t}{1-\cos t} \end{aligned} $$

である。よって $t=\theta$ に対応する点

$$ P\left(\frac{c}{1-s},\frac{s}{1-c}\right)

$$

における接線は

$$ \begin{aligned} y-\frac{s}{1-c} &= -\frac{1-s}{1-c}\left(x-\frac{c}{1-s}\right) \end{aligned} $$

となる。これを整理すると

$$ (1-s)x+(1-c)y=s+c

$$

すなわち

$$ (1-\sin\theta)x+(1-\cos\theta)y=\sin\theta+\cos\theta

$$

である。

**(2)**

$\alpha=\sin\theta+\cos\theta=s+c$ とおくと、（1） の接線は

$$ (1-s)x+(1-c)y=\alpha

$$

と書ける。

この直線の $x$ 軸との交点を $A$、$y$ 軸との交点を $B$ とすると、

$$ A\left(\frac{\alpha}{1-s},0\right),\qquad B\left(0,\frac{\alpha}{1-c}\right)

$$

である。したがって、求める三角形の面積 $S$ は

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2}\cdot \frac{\alpha}{1-s}\cdot \frac{\alpha}{1-c} \\ &= \frac{\alpha^2}{2(1-s)(1-c)} \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ \alpha^2=(s+c)^2=s^2+2sc+c^2=1+2sc

$$

より

$$ sc=\frac{\alpha^2-1}{2}

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} (1-s)(1-c) &= 1-(s+c)+sc \\ 1-\alpha+\frac{\alpha^2-1}{2} \\ \frac{(\alpha-1)^2}{2} \end{aligned} $$

となるから、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{\alpha^2}{2\cdot \frac{(\alpha-1)^2}{2}} \\ &= \frac{\alpha^2}{(\alpha-1)^2} \end{aligned} $$

である。

**(3)**

$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき、

$$ 1<\sin\theta+\cos\theta\le \sqrt{2}

$$

である。すなわち

$$ 1<\alpha\le \sqrt{2}

$$

であり、$\alpha=\sqrt{2}$ は $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のときに実現する。

また、

$$ S(\alpha)=\frac{\alpha^2}{(\alpha-1)^2}

$$

とおくと、

$$ \begin{aligned} S'(\alpha) &= \frac{2\alpha(\alpha-1)^2-\alpha^2\cdot 2(\alpha-1)}{(\alpha-1)^4} \\ &= -\frac{2\alpha}{(\alpha-1)^3}<0 \qquad (\alpha>1) \end{aligned} $$

であるから、$S$ は $\alpha>1$ で単調減少する。

したがって、$S$ の最小値は $\alpha=\sqrt{2}$ のときで

$$ \begin{aligned} S_{\min} &= \frac{2}{(\sqrt{2}-1)^2} \\ 2(\sqrt{2}+1)^2 \\ 6+4\sqrt{2} \end{aligned} $$

となる。

一方、$\alpha\to 1+0$ のとき

$$ S=\frac{\alpha^2}{(\alpha-1)^2}\to \infty

$$

であるから、$S$ に最大値はない。よって値の範囲は

$$ 6+4\sqrt{2}\le S<\infty

$$

である。

解説

この問題では、媒介変数を無理に消去する必要はない。$\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}$ が非常に簡単な形にまとまるので、接線は媒介変数微分で求めるのが最短である。

面積については、接線を切片形として見ればただちに求まる。その後、$\alpha=\sin\theta+\cos\theta$ を用いて $\sin\theta\cos\theta$ を消去するのが整理の要点である。

最後は $\sin\theta+\cos\theta$ の値域と、$S(\alpha)$ の単調性を調べればよい。

答え

**(1)**

接線 $l$ の方程式は

$$ (1-\sin\theta)x+(1-\cos\theta)y=\sin\theta+\cos\theta

$$

である。

**(2)**

面積 $S$ は

$$ S=\frac{\alpha^2}{(\alpha-1)^2}

$$

である。

**(3)**

面積 $S$ の値の範囲は

$$ 6+4\sqrt{2}\le S<\infty

$$

である。