解説

方針・初手

（1） は部分積分を2回行うと、もとの積分が再び現れる形になる。そこで未知の積分を $I$ とおいて整理する。

（2） は $|\sin 2x|$ があるので、まず $\sin 2x$ の符号を区間ごとに判定して絶対値を外す。そのうえで （1） の結果を用いて計算する。

解法1

**(1)**

$$ I=\int e^{-x}\sin 2x,dx

$$

とおく。

ここで部分積分を行う。 $u=\sin 2x,\ dv=e^{-x}dx$ とすると、

$$ du=2\cos 2x,dx,\quad v=-e^{-x}

$$

であるから、

$$ I=-e^{-x}\sin 2x+2\int e^{-x}\cos 2x,dx

$$

となる。ここで

$$ J=\int e^{-x}\cos 2x,dx

$$

とおくと、再び部分積分により $u=\cos 2x,\ dv=e^{-x}dx$ として

$$ du=-2\sin 2x,dx,\quad v=-e^{-x}

$$

より、

$$ J=-e^{-x}\cos 2x-2\int e^{-x}\sin 2x,dx

$$

すなわち

$$ J=-e^{-x}\cos 2x-2I

$$

である。

これを先ほどの式に代入すると、

$$ \begin{aligned} I&=-e^{-x}\sin 2x+2(-e^{-x}\cos 2x-2I)\\ &=-e^{-x}\sin 2x-2e^{-x}\cos 2x-4I \end{aligned}

$$

したがって、

$$ 5I=-e^{-x}(\sin 2x+2\cos 2x)

$$

となるので、

$$ I=-\frac{1}{5}e^{-x}(\sin 2x+2\cos 2x)+C

$$

を得る。よって

$$ \int e^{-x}\sin 2x,dx =-\frac{1}{5}e^{-x}(\sin 2x+2\cos 2x)+C

$$

である。

**(2)**

まず $\sin 2x$ の符号を調べる。

$x$ が $0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ のとき、$0\le 2x\le \pi$ であるから

$$ \sin 2x\ge 0

$$

である。

また、$\dfrac{\pi}{2}\le x\le \pi$ のとき、$\pi\le 2x\le 2\pi$ であるから

$$ \sin 2x\le 0

$$

である。

したがって、

$$ \int_0^\pi e^{-x}|\sin 2x|,dx =\int_0^{\pi/2} e^{-x}\sin 2x,dx-\int_{\pi/2}^{\pi} e^{-x}\sin 2x,dx

$$

となる。

（1） より、不定積分の1つを

$$ F(x)=-\frac{1}{5}e^{-x}(\sin 2x+2\cos 2x)

$$

とおく。

まず

$$ \int_0^{\pi/2} e^{-x}\sin 2x,dx =F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0)

$$

である。

ここで

$$ F\left(\frac{\pi}{2}\right) =-\frac{1}{5}e^{-\pi/2}(\sin\pi+2\cos\pi) =\frac{2}{5}e^{-\pi/2}

$$

$$ F(0) =-\frac{1}{5}(\sin 0+2\cos 0) =-\frac{2}{5}

$$

より、

$$ \int_0^{\pi/2} e^{-x}\sin 2x,dx =\frac{2}{5}\left(1+e^{-\pi/2}\right)

$$

となる。

次に

$$ \int_{\pi/2}^{\pi} e^{-x}\sin 2x,dx =F(\pi)-F\left(\frac{\pi}{2}\right)

$$

であり、

$$ F(\pi) =-\frac{1}{5}e^{-\pi}(\sin 2\pi+2\cos 2\pi) =-\frac{2}{5}e^{-\pi}

$$

だから、

$$ \int_{\pi/2}^{\pi} e^{-x}\sin 2x,dx =-\frac{2}{5}e^{-\pi}-\frac{2}{5}e^{-\pi/2}

$$

よって求める定積分は

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi e^{-x}|\sin 2x|,dx &=\frac{2}{5}(1+e^{-\pi/2}) -\left(-\frac{2}{5}e^{-\pi}-\frac{2}{5}e^{-\pi/2}\right)\\ &=\frac{2}{5}\left(1+2e^{-\pi/2}+e^{-\pi}\right)\\ &=\frac{2}{5}(1+e^{-\pi/2})^2 \end{aligned}

$$

である。

解説

$e^{-x}\sin 2x$ 型の積分は、部分積分を2回繰り返すと元の積分が戻ってくるのが典型処理である。したがって、最初に積分全体を $I$ とおいて整理するのが基本方針である。

また、絶対値を含む定積分では、いきなり計算するのではなく、まず中身の符号を判定して区間分割することが重要である。この問題では $\sin 2x$ の符号が $x=\dfrac{\pi}{2}$ を境に変わるため、そこできちんと分ければよい。

答え

$$ \text{（1） }\int e^{-x}\sin 2x,dx =-\frac{1}{5}e^{-x}(\sin 2x+2\cos 2x)+C

$$

$$ \text{（2） }\int_0^\pi e^{-x}|\sin 2x|,dx =\frac{2}{5}(1+e^{-\pi/2})^2

$$