解説

方針・初手

$|x|x$ は $x$ の符号によって形が変わるので，まず $x<0$ と $x\geqq 0$ に分けて $f(x)$ を書き直す。

すると $x=0$ での値，連続性，定積分のいずれも扱いやすくなる。

解法1

$|x|x$ は

$$ |x|x= \begin{cases} x^2 & (x\geqq 0)\\ -x^2 & (x<0) \end{cases}

$$

であるから，

$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{4-|x|x}{2+x} \\ &= \begin{cases} \dfrac{4+x^2}{x+2} & (x<0)\\ \dfrac{4-x^2}{x+2} & (x\geqq 0) \end{cases} \end{aligned} $$

となる。

さらに $x\geqq 0$ では

$$ \dfrac{4-x^2}{x+2} =\dfrac{(2-x)(2+x)}{x+2} =2-x

$$

であるから，

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{4+x^2}{x+2} & (x<0)\\ 2-x & (x\geqq 0) \end{cases}

$$

と表せる。

**(1)**

$f(0)$ を求める。

$0\geqq 0$ なので $f(0)=2-0=2$ である。

**(2)**

$f(x)$ が $x=0$ で連続であることを示す。

まず，

$$ f(0)=2

$$

である。

次に左極限と右極限を調べると，

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to -0} f(x) &= \lim_{x\to -0}\frac{4+x^2}{x+2} \\ \frac{4}{2} \\ 2 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to +0} f(x) &= \lim_{x\to +0}(2-x) \\ 2 \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ \lim_{x\to 0} f(x)=2=f(0)

$$

であるから，$f(x)$ は $x=0$ で連続である。

**(3)**

$\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x),dx$ を求める。

$|x|$ を含むので $x=0$ で積分を分ける。

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} f(x),dx &= \int_{-1}^{0}\frac{4+x^2}{x+2},dx + \int_{0}^{1}(2-x),dx \end{aligned} $$

前半は割り算すると，

$$ \begin{aligned} \frac{x^2+4}{x+2} &= x-2+\frac{8}{x+2} \end{aligned} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{0}\frac{4+x^2}{x+2},dx &= \int_{-1}^{0}\left(x-2+\frac{8}{x+2}\right)dx \\ &= \left[\frac{x^2}{2}-2x+8\log(x+2)\right]_{-1}^{0} \\ &= 8\log 2-\frac{5}{2} \end{aligned} $$

また，

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{1}(2-x),dx &= \left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} \\ &= \frac{3}{2} \end{aligned} $$

したがって，

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} f(x),dx &= \left(8\log 2-\frac{5}{2}\right)+\frac{3}{2} \\ &= 8\log 2-1 \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は，$|x|x$ を符号で場合分けすることである。

特に $x\geqq 0$ では $|x|x=x^2$ となり，$f(x)=2-x$ と簡単になる。一方で $x<0$ では $|x|x=-x^2$ となるので，積分では $\dfrac{x^2+4}{x+2}$ を整式と分数に分けて処理するのが基本である。

連続性は，左右からの極限がともに $f(0)$ に一致することを確認すればよい。

答え

**(1)**

$f(0)=2$

**(2)**

$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)=2$ より，$f(x)$ は $x=0$ で連続である。

**(3)**

\int_{-1}^{1} f(x),dx=8\log 2-1

$$