解説

方針・初手

まず、$\angle CAB=\theta$ を用いて点 $C$ の座標を求める。すると、$D$ の座標もすぐに分かる。

つぎに、直線 $OC$ の方程式を立て、点 $D$ からこの直線に下ろした垂線との交点として $P$ を求める。最後に $OP$ の長さ $r$ を $\theta$ で表し、積分を計算する。

解法1

点 $A(1,0)$ を中心とする半径 $1$ の円周上に $C$ があり、$\angle CAB=\theta$ であるから、$\overrightarrow{AC}$ は長さ $1$、向きは正の $x$ 軸から $\theta$ だけ傾いている。よって

$$ C=(1+\cos\theta,\sin\theta)

$$

である。

また、$D$ は $C$ から $x$ 軸上の線分 $OB$ に下ろした垂線の足であるから、

$$ D=(1+\cos\theta,0)

$$

となる。

ここで、直線 $OC$ の傾きは

$$ \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\tan\frac{\theta}{2}

$$

であるから、直線 $OC$ の方程式は

$$ y=\tan\frac{\theta}{2},x

$$

である。

点 $D$ からこの直線に下ろした垂線の傾きは $-\cot\frac{\theta}{2}$ であるから、その方程式は

$$ y=-\cot\frac{\theta}{2}\left(x-(1+\cos\theta)\right)

$$

となる。

この 2 直線の交点が $P$ である。よって

$$ \tan\frac{\theta}{2},x=-\cot\frac{\theta}{2}\left(x-(1+\cos\theta)\right)

$$

を解けばよい。

$$ \begin{aligned} \tan^2\frac{\theta}{2},x&=-x+(1+\cos\theta)\\ \left(1+\tan^2\frac{\theta}{2}\right)x&=1+\cos\theta\\ x&=\frac{1+\cos\theta}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}\\ &=(1+\cos\theta)\cos^2\frac{\theta}{2}\\ &=2\cos^4\frac{\theta}{2} \end{aligned}

$$

したがって

$$ \begin{aligned} y&=\tan\frac{\theta}{2},x\\ &=2\sin\frac{\theta}{2}\cos^3\frac{\theta}{2} \end{aligned}

$$

となる。

よって、点 $P$ の座標は

$$ P\left(2\cos^4\frac{\theta}{2},\ 2\sin\frac{\theta}{2}\cos^3\frac{\theta}{2}\right)

$$

である。

なお、同値な形として

$$ P\left(\frac{(1+\cos\theta)^2}{2},\ \frac{(1+\cos\theta)\sin\theta}{2}\right)

$$

としてもよい。

つぎに、$r=OP$ を求める。$P$ は直線 $OC$ 上にあるから、

$$ \begin{aligned} r&=\sqrt{x^2+y^2}\\ &=x\sqrt{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}\\ &=2\cos^4\frac{\theta}{2}\cdot \sec\frac{\theta}{2}\\ &=2\cos^3\frac{\theta}{2} \end{aligned}

$$

となる。

したがって

$$ \int_{\pi/3}^{2\pi/3}r,d\theta =\int_{\pi/3}^{2\pi/3}2\cos^3\frac{\theta}{2},d\theta

$$

である。

ここで

$$ u=\frac{\theta}{2}

$$

とおくと、$d\theta=2,du$ であり、積分区間は $\theta=\frac{\pi}{3}$ のとき $u=\frac{\pi}{6}$、$\theta=\frac{2\pi}{3}$ のとき $u=\frac{\pi}{3}$ となるから、

$$ \begin{aligned} \int_{\pi/3}^{2\pi/3}r,d\theta &=4\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^3u,du\\ &=4\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos u(1-\sin^2u),du\\ &=4\left[\sin u-\frac{1}{3}\sin^3u\right]_{\pi/6}^{\pi/3}\\ &=4\left\{\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt3}{8}\right)-\left(\frac12-\frac{1}{3}\cdot\frac18\right)\right\}\\ &=4\left(\frac{3\sqrt3}{8}-\frac{11}{24}\right)\\ &=\frac{9\sqrt3-11}{6} \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題の要点は、$OC$ の傾きを

$$ \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\tan\frac{\theta}{2}

$$

と半角で処理することである。

$P$ は「点 $D$ を直線 $OC$ に正射影した点」であり、座標計算にすると垂直な 2 直線の連立で求められる。$r=OP$ も、$P$ が直線 $OC$ 上にあることを使えば、座標から自然に簡単な形に整理できる。

答え

**(1)**

$$ P\left(2\cos^4\frac{\theta}{2},\ 2\sin\frac{\theta}{2}\cos^3\frac{\theta}{2}\right)

$$

すなわち

$$ P\left(\frac{(1+\cos\theta)^2}{2},\ \frac{(1+\cos\theta)\sin\theta}{2}\right)

$$

である。

**(2)**

$$ r=2\cos^3\frac{\theta}{2}

$$

したがって

$$ \int_{\pi/3}^{2\pi/3}r,d\theta=\frac{9\sqrt3-11}{6}

$$

である。