解説

方針・初手

核となるのは

$$ e^{x+t}=e^x e^t

$$

と分離できることである。

このため、積分方程式の右辺は $x$ に関して常に $e^x$ の定数倍となる。そこで

$$ A=\int_0^1 e^t f(t),dt,\qquad B=\int_0^1 e^t g(t),dt

$$

のようにおくと、与えられた式はそれぞれ $f(x)=Ae^x$ $g(x)=Be^x+x$ の形に落ちる。あとは $A,B$ に関する方程式を作って決定すればよい。

解法1

**(1)**

与式

$$ f(x)=\int_0^1 e^{x+t}f(t),dt

$$

において、$e^x$ は積分変数 $t$ に依らないので外に出せる。よって

$$ f(x)=e^x\int_0^1 e^t f(t),dt

$$

となる。

ここで

$$ A=\int_0^1 e^t f(t),dt

$$

とおけば、

$$ f(x)=Ae^x

$$

である。

この式を $A$ の定義に代入すると

$$ A=\int_0^1 e^t f(t),dt =\int_0^1 e^t \cdot Ae^t,dt =A\int_0^1 e^{2t},dt

$$

となる。さらに

$$ \int_0^1 e^{2t},dt=\left[\frac12 e^{2t}\right]_0^1=\frac{e^2-1}{2}

$$

より、

$$ A=A\cdot \frac{e^2-1}{2}

$$

すなわち

$$ \left(1-\frac{e^2-1}{2}\right)A=0

$$

である。整理して

$$ \frac{3-e^2}{2}A=0

$$

を得る。$e^2\neq 3$ であるから

$$ A=0

$$

である。したがって

$$ f(x)=Ae^x=0

$$

となり、条件を満たす $f(x)$ は定数関数 $f(x)=0$ のみである。

**(2)**

与式

$$ g(x)=\int_0^1 e^{x+t}g(t),dt+x

$$

に対して、同様に

$$ g(x)=e^x\int_0^1 e^t g(t),dt+x

$$

となる。ここで

$$ B=\int_0^1 e^t g(t),dt

$$

とおけば、

$$ g(x)=Be^x+x

$$

である。

これを $B$ の定義に代入すると

$$ B=\int_0^1 e^t g(t),dt =\int_0^1 e^t(Be^x+x)\Big|_{x=t},dt =\int_0^1 e^t(Be^t+t),dt

$$

より

$$ B=B\int_0^1 e^{2t},dt+\int_0^1 te^t,dt

$$

を得る。

すでに

$$ \int_0^1 e^{2t},dt=\frac{e^2-1}{2}

$$

である。また、部分積分により

$$ \int_0^1 te^t,dt =\left[(t-1)e^t\right]_0^1 =0-(-1)=1

$$

であるから、

$$ B=B\cdot \frac{e^2-1}{2}+1

$$

となる。したがって

$$ \left(1-\frac{e^2-1}{2}\right)B=1

$$

すなわち

$$ \frac{3-e^2}{2}B=1

$$

である。よって

$$ B=\frac{2}{3-e^2}

$$

となる。

以上より

$$ g(x)=\frac{2}{3-e^2}e^x+x

$$

を得る。

解説

この問題の本質は、積分核 $e^{x+t}$ が $e^x e^t$ と分離できることである。すると右辺は「$x$ に依る部分」と「$t$ に関する積分で決まる定数部分」に分かれ、未知関数は実質的に $e^x$ の係数を1つ決める問題になる。

（1） は同次型であり、その係数が結局 $0$ にしかならないことを示す問題である。

（2） は非同次型で、$+x$ が付くだけで考え方は同じである。まず $g(x)=Be^x+x$ と形を決め、その後で $B$ を積分から定めればよい。

答え

**(1)**

条件を満たす $f(x)$ は

$$ f(x)=0

$$

のみである。

**(2)**

求める $g(x)$ は

$$ g(x)=x+\frac{2e^x}{3-e^2}

$$

である。