解説

方針・初手

（1） は $\log\left(1+\dfrac{x}{n}\right)$ を積分で表し，被積分関数 $\dfrac{1}{1+t}$ の大小を評価すればよい。

（2） はリーマン和そのものであり，$\displaystyle \int_0^1 t^5,dt$ に移せばよい。

（3） は積のままでは扱いにくいので，対数を取って和に直す。そのうえで （1） の評価を各因子に適用し，最後に （2） を用いて極限を求める。

解法1

**(1)**

対数を積分で表すと，

$$ \log\left(1+\frac{x}{n}\right)=\int_0^{x/n}\frac{1}{1+t},dt

$$

である。

ここで $0\le x\le 1$ だから $0\le t\le x/n$ の範囲では

$$ \frac{1}{1+x/n}\le \frac{1}{1+t}\le 1

$$

が成り立つ。したがって積分区間の長さが $\dfrac{x}{n}$ であることから，

$$ \frac{x}{n}\cdot \frac{1}{1+x/n} \le \log\left(1+\frac{x}{n}\right) \le \frac{x}{n}

$$

となる。左辺は

$$ \begin{aligned} \frac{x}{n}\cdot \frac{1}{1+x/n} &= \frac{x}{n+x} \end{aligned} $$

であるから，

$$ \frac{x}{n+x}\le \log\left(1+\frac{x}{n}\right)\le \frac{x}{n}

$$

を得る。さらに $x\le 1$ より $n+x\le n+1$ であるから，

$$ \frac{x}{n+1}\le \frac{x}{n+x}

$$

であり，結局

$$ \frac{x}{n+1}\le \log\left(1+\frac{x}{n}\right)\le \frac{x}{n}

$$

が示された。

**(2)**

与えられた和は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^5 &= \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^5\frac{1}{n} \end{aligned} $$

であり，これは関数 $f(t)=t^5$ の区間 $[0,1]$ における右端リーマン和である。よって

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^5 &= \int_0^1 t^5,dt \\ \left[\frac{t^6}{6}\right]_0^1 \\ \frac{1}{6} \end{aligned} $$

である。

**(3)**

$$ a_n=\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{k^5}{n^6}\right)

$$

とおく。各因子は正であるから対数を取ることができ，

$$ \begin{aligned} \log a_n &= \sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{k^5}{n^6}\right) \end{aligned} $$

となる。

ここで （1） を $x=\left(\dfrac{k}{n}\right)^5$ に対して適用する。$1\le k\le n$ だから $0\le x\le 1$ を満たす。したがって

$$ \frac{(k/n)^5}{n+1} \le \log\left(1+\frac{k^5}{n^6}\right) \le \frac{(k/n)^5}{n}

$$

である。これを $k=1,2,\dots,n$ について足し合わせると，

$$ \frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^5 \le \log a_n \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^5

$$

を得る。

左辺は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^5 &= \frac{n}{n+1}\cdot \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^5 \end{aligned} $$

と書けるので，（2） より

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^5 &= 1\cdot \frac{1}{6} \\ \frac{1}{6} \end{aligned} $$

であり，右辺も （2） より $\dfrac{1}{6}$ に収束する。はさみうちの原理により

$$ \lim_{n\to\infty}\log a_n=\frac{1}{6}

$$

となる。指数関数の連続性から，

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}a_n &= \exp\left(\lim_{n\to\infty}\log a_n\right) \\ e^{1/6} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は，それぞれが独立ではなく連動していることである。

（1） は $\log(1+u)$ の基本評価であり，積分表示を使うと自然に示せる。ここで得た評価は，微小量に対して $\log(1+u)$ がほぼ $u$ に等しいことを表している。

（2） は典型的なリーマン和である。和を積分に読み替える発想が直ちに出るかが重要である。

（3） は積をそのまま扱うのではなく，まず対数を取って和に直すことが決定的である。そのうえで （1） により各項の対数をはさみうちし，最後に （2） の極限へ帰着する。積の極限を対数で和の極限に変えるのが典型処理である。

答え

**(1)**

$$ \frac{x}{n+1}\le \log\left(1+\frac{x}{n}\right)\le \frac{x}{n} \qquad (0\le x\le 1)

$$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^5=\frac{1}{6}

$$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=e^{1/6}

$$