解説

方針・初手

まず、$y=e^x$ の接線の傾きが $e^x$ であることから、接線が $x$ 軸となす角 $\pi/3$ を使って点 $P$ を決める。

次に、円が $C_1$ に点 $P$ で接するので、円の中心 $Q$ は $P$ における法線上にある。また円が $x$ 軸に接するので、中心の $y$ 座標がそのまま半径になる。

解法1

点 $P$ の $x$ 座標を $a$ とする。$C_1:y=e^x$ 上の点なので、

$$ P=(a,e^a)

$$

である。

$C_1$ の接線の傾きは $y'=e^x$ より、点 $P$ における接線の傾きは $e^a$ である。接線と $x$ 軸のなす角が $\pi/3$ だから、

$$ e^a=\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}

$$

となる。よって、

$$ a=\log \sqrt{3}

$$

であり、

$$ P=\left(\log\sqrt{3},\sqrt{3}\right)

$$

である。

次に、円の中心を

$$ Q=(u,v)

$$

とおく。円は $x$ 軸に接しているので、半径は $v$ であり、接点 $R$ は

$$ R=(u,0)

$$

である。

また、円は $C_1$ と点 $P$ で接しているので、中心 $Q$ は点 $P$ における法線上にある。点 $P$ における接線の傾きは $\sqrt{3}$ だから、法線の傾きは

$$ -\frac{1}{\sqrt{3}}

$$

である。したがって、

$$ \frac{v-\sqrt{3}}{u-\log\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}

$$

が成り立つ。

ここで

$$ s=u-\log\sqrt{3}

$$

とおくと、

$$ v-\sqrt{3}=-\frac{s}{\sqrt{3}}

$$

より、

$$ v=\sqrt{3}-\frac{s}{\sqrt{3}}

$$

である。

また、$P$ は円周上の点であり、半径は $v$ だから、

$$ PQ=v

$$

である。したがって、

$$ s^2+\left(v-\sqrt{3}\right)^2=v^2

$$

となる。これに $v-\sqrt{3}=-s/\sqrt{3}$ を代入すると、

$$ s^2+\frac{s^2}{3}=v^2

$$

すなわち、

$$ \frac{4}{3}s^2=v^2

$$

である。さらに $v=\sqrt{3}-s/\sqrt{3}$ を代入して、

$$ \frac{4}{3}s^2=\left(\sqrt{3}-\frac{s}{\sqrt{3}}\right)^2

$$

を得る。両辺を整理すると、

$$ \frac{4}{3}s^2=3-2s+\frac{s^2}{3}

$$

より、

$$ s^2+2s-3=0

$$

である。よって、

$$ (s-1)(s+3)=0

$$

となる。

したがって、

$$ s=1,\ -3

$$

である。$s=-3$ のとき、

$$ u=\log\sqrt{3}-3<0

$$

となり、中心が第1象限にない。よって、

$$ s=1

$$

である。

したがって、

$$ u=\log\sqrt{3}+1

$$

また、

$$ v=\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}

$$

である。ゆえに、

$$ Q=\left(\log\sqrt{3}+1,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)

$$

である。

次に、面積を求める。以後、

$$ a=\log\sqrt{3},\qquad r=\frac{2\sqrt{3}}{3}

$$

とおく。この円の中心は

$$ Q=(a+1,r)

$$

であり、半径は $r$ である。したがって円の方程式は

$$ (x-a-1)^2+(y-r)^2=r^2

$$

である。

弧 $C_2$ を媒介変数 $\theta$ で表すと、

$$ x=a+1+r\cos\theta,\qquad y=r+r\sin\theta

$$

とおける。

点 $P=(a,\sqrt{3})$ に対応する $\theta$ は、

$$ \cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{1}{2}

$$

より、

$$ \theta=\frac{5\pi}{6}

$$

である。また、点 $R=(a+1,0)$ に対応する $\theta$ は、

$$ \cos\theta=0,\qquad \sin\theta=-1

$$

より、

$$ \theta=\frac{3\pi}{2}

$$

である。よって、短い方の弧 $C_2$ は

$$ \frac{5\pi}{6}\leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{2}

$$

で表される。

求める部分の境界を、$y$ 軸、$C_1$、$C_2$、$x$ 軸の順にたどると、向きは時計回りである。このとき面積 $S$ は

$$ S=\int y,dx

$$

で求められる。$x$ 軸上と $y$ 軸上では寄与がないので、

$$ S=\int_0^a e^x,dx+\int_{C_2}y,dx

$$

である。

まず、

$$ \int_0^a e^x,dx=e^a-1=\sqrt{3}-1

$$

である。

次に、弧 $C_2$ について、

$$ \frac{dx}{d\theta}=-r\sin\theta

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_{C_2}y,dx &=\int_{5\pi/6}^{3\pi/2}(r+r\sin\theta)(-r\sin\theta),d\theta \\ &=-r^2\int_{5\pi/6}^{3\pi/2}(\sin\theta+\sin^2\theta),d\theta \end{aligned}

$$

となる。

ここで、

$$ \int_{5\pi/6}^{3\pi/2}\sin\theta,d\theta =\left[-\cos\theta\right]_{5\pi/6}^{3\pi/2} =-\frac{\sqrt{3}}{2}

$$

であり、

$$ \begin{aligned} \int_{5\pi/6}^{3\pi/2}\sin^2\theta,d\theta &=\int_{5\pi/6}^{3\pi/2}\frac{1-\cos2\theta}{2},d\theta \\ &=\left[\frac{\theta}{2}-\frac{\sin2\theta}{4}\right]_{5\pi/6}^{3\pi/2} \\ &=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{8} \end{aligned}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \int_{C_2}y,dx &=-r^2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{8}\right) \\ &=-r^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{8}\right) \end{aligned}

$$

となる。

$r=2\sqrt{3}/3$ より、

$$ r^2=\frac{4}{3}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} \int_{C_2}y,dx &=-\frac{4}{3}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{8}\right) \\ &=\frac{5\sqrt{3}}{6}-\frac{4\pi}{9} \end{aligned}

$$

である。

よって、求める面積は

$$ \begin{aligned} S &=\sqrt{3}-1+\frac{5\sqrt{3}}{6}-\frac{4\pi}{9} \\ &=\frac{11\sqrt{3}}{6}-1-\frac{4\pi}{9} \end{aligned}

$$

である。

解説

接線の傾きと角度の関係から $P$ を決めるのが初手である。$y=e^x$ では、点 $(a,e^a)$ における接線の傾きがそのまま $e^a$ になるため、$\tan(\pi/3)=\sqrt{3}$ を使えばすぐに $P$ が決まる。

円の中心 $Q$ は、接点 $P$ における法線上にある。この条件と、円が $x$ 軸に接するため半径が中心の $y$ 座標に等しいという条件を組み合わせるのが重要である。

面積計算では、弧 $C_2$ が $x$ の1価関数として扱いにくい。そのため、円を媒介変数表示し、時計回りの境界に対して面積を $\int y,dx$ で計算すると処理しやすい。

答え

**(1)**

$$ P=\left(\log\sqrt{3},\sqrt{3}\right)

$$

$$ Q=\left(\log\sqrt{3}+1,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)

$$

**(2)**

$$ \frac{11\sqrt{3}}{6}-1-\frac{4\pi}{9}

$$