解説

方針・初手

$t=0,\pi,2\pi$ のとき

$$ (x,y)=(\cos 2t,\ t\sin t)=(1,0)

$$

となる。

また、$0<t<\pi$ では $\sin t>0$ だから $y=t\sin t>0$、$\pi<t<2\pi$ では $\sin t<0$ だから $y=t\sin t<0$ である。したがって、この曲線は点 $(1,0)$ を共有する上下2つのループからなり、求める面積はそれらの面積の和である。

各ループの面積は

$$ A=\left|\int y,dx\right| =\left|\int y(t)x'(t),dt\right|

$$

で求める。

解法1

まず

$$ x'(t)=\frac{d}{dt}(\cos 2t)=-2\sin 2t

$$

である。

上側のループ $0\le t\le \pi$

面積を $A_1$ とすると

$$ A_1=\left|\int_0^\pi y(t)x'(t),dt\right| =\left|\int_0^\pi t\sin t(-2\sin 2t),dt\right|

$$

ここで

$$ 2\sin t\sin 2t=\cos t-\cos 3t

$$

より

$$ A_1 =\left|-\int_0^\pi t(\cos t-\cos 3t),dt\right|

$$

したがって

$$ \int_0^\pi t\cos t,dt =\left[t\sin t+\cos t\right]_0^\pi =-2

$$

$$ \int_0^\pi t\cos 3t,dt =\left[\frac{t}{3}\sin 3t+\frac{1}{9}\cos 3t\right]_0^\pi =-\frac{2}{9}

$$

であるから

$$ A_1 =\left\{-\left(-2+\frac{2}{9}\right)\right\} =\frac{16}{9}

$$

となる。

下側のループ $\pi\le t\le 2\pi$

面積を $A_2$ とすると

$$ A_2=\left|\int_\pi^{2\pi} t\sin t(-2\sin 2t),dt\right|

$$

ここで $t=u+\pi$ とおくと、$dt=du$ で、$u:0\to\pi$ となる。また

$$ \sin(u+\pi)=-\sin u,\qquad \sin(2u+2\pi)=\sin 2u

$$

より

$$ A_2 =\left|\int_0^\pi (u+\pi)(\cos u-\cos 3u),du\right|

$$

これを分けると

$$ A_2 =\left| \int_0^\pi u(\cos u-\cos 3u),du +\pi\int_0^\pi (\cos u-\cos 3u),du \right|

$$

ここで

$$ \int_0^\pi (\cos u-\cos 3u),du =\left[\sin u-\frac{1}{3}\sin 3u\right]_0^\pi =0

$$

だから

$$ A_2 =\left|\int_0^\pi u(\cos u-\cos 3u),du\right|

$$

これは上で求めた値と同じで

$$ A_2=\frac{16}{9}

$$

である。

よって、求める面積 $A$ は

$$ A=A_1+A_2=\frac{16}{9}+\frac{16}{9}=\frac{32}{9}

$$

解説

この問題の要点は、曲線全体をそのまま1つの閉曲線として扱わず、$(1,0)$ を共有点とする上側・下側の2つのループに分けることである。

媒介変数表示された閉曲線の面積は

$$ \left|\int y,dx\right|

$$

で処理できる。特に $x'(t)$ を求めて $\int y(t)x'(t),dt$ に直すと、三角関数の積を和に変換して計算できる形になる。

答え

曲線が囲む領域の面積は

$$ \frac{32}{9}

$$

である。