解説

方針・初手

極方程式

$$ r=1+\cos\theta \qquad (0\le \theta \le \pi)

$$

で表される曲線上の点の直交座標は

$$ x=r\cos\theta=(1+\cos\theta)\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta=(1+\cos\theta)\sin\theta

$$

である。

したがって、問1では $y$ を $\theta$ の関数として最大化し、$x$ を $\theta$ の関数として最小化すればよい。 問2では、求めた $\theta_1,\theta_2$ を面積公式

$$ S=\frac12\int_{\theta_1}^{\theta_2} r^2,d\theta

$$

に代入して計算する。

解法1

まず

$$ x=(1+\cos\theta)\cos\theta,\qquad y=(1+\cos\theta)\sin\theta

$$

とおく。

$y$ 座標が最大となる点 $P_1$

$f(\theta)=y=(1+\cos\theta)\sin\theta$ とおくと、

$$ f'(\theta)=(-\sin\theta)\sin\theta+(1+\cos\theta)\cos\theta

$$

より

$$ f'(\theta)=\cos\theta+\cos2\theta

$$

である。したがって極値の候補は

$$ \cos\theta+\cos2\theta=0

$$

を満たす $\theta$ である。$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ を用いると

$$ 2\cos^2\theta+\cos\theta-1=0

$$

となるから、

$$ (2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)=0

$$

である。よって

$$ \cos\theta=\frac12 \quad \text{または} \quad \cos\theta=-1

$$

となり、$0\le \theta \le \pi$ で

$$ \theta=\frac{\pi}{3},\ \pi

$$

を得る。

端点も含めて調べると

$$ y(0)=0,\qquad y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(1+\frac12\right)\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4},\qquad y(\pi)=0

$$

であるから、最大値は $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ でとる。

このとき

$$ r_1=1+\cos\frac{\pi}{3}=1+\frac12=\frac32

$$

より、

$$ P_1\left(r_1,\theta_1\right)=\left(\frac32,\frac{\pi}{3}\right)

$$

である。

$x$ 座標が最小となる点 $P_2$

$g(\theta)=x=(1+\cos\theta)\cos\theta$ とおくと、

$$ g'(\theta)=(-\sin\theta)\cos\theta+(1+\cos\theta)(-\sin\theta)

$$

したがって

$$ g'(\theta)=-\sin\theta(1+2\cos\theta)

$$

である。よって極値の候補は

$$ \sin\theta=0 \quad \text{または} \quad 1+2\cos\theta=0

$$

より

$$ \theta=0,\ \pi,\ \frac{2\pi}{3}

$$

である。

それぞれで $x$ を調べると

$$ x(0)=2,\qquad x(\pi)=0,\qquad x\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\left(1-\frac12\right)\left(-\frac12\right)=-\frac14

$$

となるから、最小値は $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ でとる。

このとき

$$ r_2=1+\cos\frac{2\pi}{3}=1-\frac12=\frac12

$$

より、

$$ P_2\left(r_2,\theta_2\right)=\left(\frac12,\frac{2\pi}{3}\right)

$$

である。

面積 $S$

問2の公式に代入すると

$$ S=\frac12\int_{\pi/3}^{2\pi/3}(1+\cos\theta)^2,d\theta

$$

である。

ここで

$$ (1+\cos\theta)^2 =1+2\cos\theta+\cos^2\theta =\frac32+2\cos\theta+\frac12\cos2\theta

$$

であるから、

$$ S=\frac12\int_{\pi/3}^{2\pi/3}\left(\frac32+2\cos\theta+\frac12\cos2\theta\right),d\theta

$$

となる。積分すると

$$ S=\frac12\left[\frac32\theta+2\sin\theta+\frac14\sin2\theta\right]_{\pi/3}^{2\pi/3}

$$

である。

各値を代入すると

$$ \left[\frac32\theta+2\sin\theta+\frac14\sin2\theta\right]_{\pi/3}^{2\pi/3} =\left(\pi+\sqrt3-\frac{\sqrt3}{8}\right)-\left(\frac{\pi}{2}+\sqrt3+\frac{\sqrt3}{8}\right) =\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt3}{4}

$$

よって

$$ S=\frac12\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt3}{4}\right) =\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt3}{8}

$$

である。

解説

極方程式の問題では、まず $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ に直して考えるのが基本である。

この問題では $r=1+\cos\theta$ がすでに与えられているので、$x,y$ をともに $\theta$ の関数として表せる。したがって、座標の最大・最小は通常の微分法で処理できる。

また、面積は極座標の公式

$$ S=\frac12\int r^2,d\theta

$$

をそのまま使えばよい。問1で求めた角 $\theta_1,\theta_2$ がそのまま積分区間になる点が重要である。

答え

**(問1)**

$$ P_1\left(r_1,\theta_1\right)=\left(\frac32,\frac{\pi}{3}\right),\qquad P_2\left(r_2,\theta_2\right)=\left(\frac12,\frac{2\pi}{3}\right)

$$

**(問2)**

$$ S=\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt3}{8}

$$