基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題128 解説
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解説
方針・初手
分母は
$$ x^3-x=x(x-1)(x+1)
$$
と因数分解できる。分子の次数は分母より低いので、部分分数分解して各項を対数の積分に直すのが基本方針である。
解法1
まず
$$ \begin{aligned} \frac{6x^2+x-1}{x^3-x} &= \frac{6x^2+x-1}{x(x-1)(x+1)} \\ \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1} \end{aligned} $$
とおく。
両辺に $x(x-1)(x+1)$ を掛けると、
$$ 6x^2+x-1=A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)
$$
である。右辺を整理すると、
$$ \begin{aligned} 6x^2+x-1 &= A(x^2-1)+B(x^2+x)+C(x^2-x) \end{aligned} $$
$$ =(A+B+C)x^2+(B-C)x-A
$$
したがって係数比較により、
$$ \begin{cases} A+B+C=6\\ B-C=1\\ -A=-1 \end{cases}
$$
を得る。ここから
$$ A=1
$$
さらに
$$ B+C=5,\quad B-C=1
$$
より
$$ B=3,\quad C=2
$$
である。
よって
$$ \begin{aligned} \frac{6x^2+x-1}{x^3-x} &= \frac{1}{x}+\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+1} \end{aligned} $$
となるから、
$$ \begin{aligned} \int \frac{6x^2+x-1}{x^3-x},dx &= \int \left( \frac{1}{x}+\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+1} \right),dx \end{aligned} $$
$$ =\log|x|+3\log|x-1|+2\log|x+1|
$$
となる。
解説
この問題の要点は、分母をきちんと因数分解してから部分分数分解に持ち込むことである。
$$ x^3-x=x(x-1)(x+1)
$$
と分かれば、あとは
$$ \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}
$$
の形に直して係数比較をするだけである。不定積分では最後に対数が現れるので、絶対値を忘れないことが重要である。
答え
$$ \begin{aligned} \int \frac{6x^2+x-1}{x^3-x},dx &= \log|x|+3\log|x-1|+2\log|x+1| \end{aligned} $$
である。