解説

方針・初手

まず $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right),g\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ を求め、ついで $f'(\theta),g'(\theta)$ の符号を調べれば、曲線 $C$ の動き方が分かる。

最後の面積は、境界の一部が原点を通る直線と $x$ 軸であることを利用すると処理しやすい。点 $P(\theta)=(f(\theta),g(\theta))$ が動くとき、原点 $O$ と $P(\theta)$ が掃く面積を

$$ \frac12\bigl(x,dy-y,dx\bigr)

$$

で表して積分する。

解法1

**(1)**

$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right),g\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ を求める。

$\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac12,\ \sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \cos \dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac12,\ \sin \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ であるから、

$$ f\left(\frac{\pi}{3}\right) =2\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3} =2\cdot\frac12-\frac12 =\frac12

$$

$$ g\left(\frac{\pi}{3}\right) =2\sin\frac{\pi}{3}-\sin\frac{2\pi}{3} =2\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt3}{2}

$$

したがって、

$$ \left(f\left(\frac{\pi}{3}\right),g\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) =\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)

$$

である。

**(2)**

$f(\theta),g(\theta)$ の増減を調べる。

まず $f(\theta)$ について、

$$ f'(\theta)=-2\sin\theta-2\sin2\theta =-2\sin\theta(1+2\cos\theta)

$$

である。

$0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{3}$ では

$$ \sin\theta\geqq 0,\qquad \cos\theta\geqq \frac12

$$

であるから、

$$ 1+2\cos\theta\geqq 2>0

$$

となる。よって

$$ f'(\theta)\leqq 0

$$

であり、$\theta=0$ を除けば $f'(\theta)<0$ である。したがって $f(\theta)$ は $0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{3}$ で減少する。

次に $g(\theta)$ について、

$$ g'(\theta)=2\cos\theta-2\cos2\theta =2(\cos\theta-\cos2\theta)

$$

である。

ここで

$$ \cos\theta-\cos2\theta =-2\sin\frac{3\theta}{2}\sin\left(-\frac{\theta}{2}\right) =2\sin\frac{3\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}

$$

より、

$$ g'(\theta)=4\sin\frac{3\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}

$$

となる。$0<\theta\leqq \dfrac{\pi}{3}$ では $\dfrac{\theta}{2},\dfrac{3\theta}{2}$ はともに $0$ と $\dfrac{\pi}{2}$ の間にあるので、

$$ g'(\theta)>0

$$

である。したがって $g(\theta)$ は $0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{3}$ で増加する。

（3） 点 $(0,0)$ と $\left(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right),g\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$ を通る直線 $l$ の方程式を求める。

（1） より、その点は

$$ \left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)

$$

である。したがって傾きは

$$ \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12}=\sqrt3

$$

であるから、

$$ l:\ y=\sqrt3,x

$$

である。

（4） 曲線 $C$ と直線 $l$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

点 $P(\theta)=(x,y)=(f(\theta),g(\theta))$ とすると、求める面積 $S$ は

$$ S=\frac12\int_0^{\pi/3}\left(x\frac{dy}{d\theta}-y\frac{dx}{d\theta}\right)d\theta

$$

で与えられる。

ここで

$$ x=2\cos\theta+\cos2\theta,\qquad y=2\sin\theta-\sin2\theta

$$

より、

$$ \frac{dx}{d\theta}=-2\sin\theta-2\sin2\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=2\cos\theta-2\cos2\theta

$$

である。したがって、

$$ x\frac{dy}{d\theta}-y\frac{dx}{d\theta} =(2\cos\theta+\cos2\theta)(2\cos\theta-2\cos2\theta) +(2\sin\theta-\sin2\theta)(2\sin\theta+2\sin2\theta)

$$

これを展開すると、

$$ \begin{aligned} x\frac{dy}{d\theta}-y\frac{dx}{d\theta} &=4(\cos^2\theta+\sin^2\theta) -2(\cos\theta\cos2\theta-\sin\theta\sin2\theta) -2(\cos^22\theta+\sin^22\theta) \\ &=4-2\cos3\theta-2 \\ &=2-2\cos3\theta \end{aligned}

$$

となる。よって

$$ \begin{aligned} S &=\frac12\int_0^{\pi/3}(2-2\cos3\theta),d\theta \\ &=\int_0^{\pi/3}(1-\cos3\theta),d\theta \\ &=\left[\theta-\frac13\sin3\theta\right]_0^{\pi/3} \\ &=\frac{\pi}{3} \end{aligned}

$$

したがって、求める面積は

$$ \frac{\pi}{3}

$$

である。

解説

$f(\theta)$ は微分すると常に負、$g(\theta)$ は微分すると常に正であるから、この区間では曲線 $C$ は「左へ進みながら上へ上がる」曲線である。

面積計算では、単に $\int y,dx$ として分割してもよいが、この問題では境界の一部が原点を通る直線であるため、

$$ \frac12\int (x,dy-y,dx)

$$

を用いると計算がまとまりやすい。被積分関数が $2-2\cos3\theta$ まで簡単になる点がこの問題の要点である。

答え

**(1)**

$$ f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12,\qquad g\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}

$$

**(2)**

$f(\theta)$ は $0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{3}$ で減少し、$g(\theta)$ は $0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{3}$ で増加する。

**(3)**

$$ l:\ y=\sqrt3,x

$$

**(4)**

$$ \frac{\pi}{3}

$$