基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題130 解説
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解説
方針・初手
右辺の積分
$$ \int_0^\pi f(t)e^{-t},dt
$$
は $x$ を含まないので、これは定数である。したがって $f(x)$ は $e^x$ に定数を加えた形になる。
そこで
$$ f(x)=e^x+A
$$
とおいて、これをもとの式に代入して $A$ を求める。
解法1
与えられた式は
$$ f(x)=e^x+\int_0^\pi f(t)e^{-t},dt
$$
である。
右辺第2項は $x$ によらない定数なので、
$$ f(x)=e^x+A
$$
とおける。
これを積分の中に代入すると、
$$ A=\int_0^\pi f(t)e^{-t},dt =\int_0^\pi (e^t+A)e^{-t},dt
$$
である。
ここで
$$ (e^t+A)e^{-t}=1+Ae^{-t}
$$
であるから、
$$ A=\int_0^\pi \left(1+Ae^{-t}\right),dt =\int_0^\pi 1,dt+A\int_0^\pi e^{-t},dt
$$
となる。
それぞれ計算すると、
$$ \int_0^\pi 1,dt=\pi, \qquad \int_0^\pi e^{-t},dt=\left[-e^{-t}\right]_0^\pi=1-e^{-\pi}
$$
より、
$$ A=\pi+A(1-e^{-\pi})
$$
を得る。
これを整理すると、
$$ Ae^{-\pi}=\pi
$$
したがって
$$ A=\pi e^\pi
$$
である。
解説
この問題の要点は、積分
$$ \int_0^\pi f(t)e^{-t},dt
$$
が $x$ に関して定数になることを見抜くことである。
そのため $f(x)$ 全体は $e^x$ に定数を加えた形になり、未知数は関数ではなく定数 $A$ 1つに落ちる。あとは代入して通常の方程式として解けばよい。
答え
**(オ)**
$\pi e^\pi$