解説

方針・初手

$f(x)=\sqrt{x}\log x=x^{1/2}\log x$ とおく。定義域は $x>0$ である。

最小値は $f'(x)$ の符号から調べ、変曲点は $f''(x)$ の符号変化から求める。定積分は $\int x^{1/2}\log x,dx$ を部分積分で計算すればよい。

解法1

まず微分する。

$$ f(x)=x^{1/2}\log x

$$

より、

$$ f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}\log x+x^{1/2}\cdot \frac{1}{x} =\frac{\log x+2}{2\sqrt{x}}

$$

である。ここで $x>0$ より $2\sqrt{x}>0$ だから、$f'(x)$ の符号は $\log x+2$ の符号で決まる。

$$ f'(x)=0 \iff \log x+2=0 \iff x=e^{-2}

$$

したがって、

• $0<x<e^{-2}$ で $f'(x)<0$
• $x>e^{-2}$ で $f'(x)>0$

となるので、$x=e^{-2}$ で最小となる。最小値は

$$ f(e^{-2})=\sqrt{e^{-2}}\log(e^{-2}) =\frac{1}{e}\cdot (-2) =-\frac{2}{e}

$$

である。よって （ア） は

$$ -\frac{2}{e}

$$

である。

次に 2 回微分する。

$$ f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}(\log x+2)

$$

より、

$$ \begin{aligned} f''(x) &=\frac{1}{2}\left\{-\frac{1}{2}x^{-3/2}(\log x+2)+x^{-1/2}\cdot \frac{1}{x}\right\} \\ &=\frac{1}{2}x^{-3/2}\left\{-\frac{1}{2}(\log x+2)+1\right\} \\ &=-\frac{\log x}{4x^{3/2}} \end{aligned}

$$

ここで $x>0$ では $4x^{3/2}>0$ だから、$f''(x)$ の符号は $-\log x$ の符号で決まる。

$$ f''(x)=0 \iff \log x=0 \iff x=1

$$

さらに、

• $0<x<1$ で $\log x<0$ より $f''(x)>0$
• $x>1$ で $\log x>0$ より $f''(x)<0$

となるので、$x=1$ で変曲点をもつ。よって （イ） は

$$ 1

$$

である。

最後に定積分 $\displaystyle \int_1^e f(x),dx$ を求める。 部分積分で

$$ u=\log x,\quad dv=\sqrt{x},dx

$$

とおくと、

$$ du=\frac{1}{x},dx,\quad v=\frac{2}{3}x^{3/2}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int \sqrt{x}\log x,dx &=\frac{2}{3}x^{3/2}\log x-\frac{2}{3}\int x^{1/2},dx \\ &=\frac{2}{3}x^{3/2}\log x-\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}x^{3/2} \\ &=\frac{2}{3}x^{3/2}\log x-\frac{4}{9}x^{3/2} \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \begin{aligned} \int_1^e f(x),dx &=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\log x-\frac{4}{9}x^{3/2}\right]_1^e \\ &=\left(\frac{2}{3}e^{3/2}-\frac{4}{9}e^{3/2}\right)-\left(0-\frac{4}{9}\right) \\ &=\frac{2}{9}e^{3/2}+\frac{4}{9} \end{aligned}

$$

よって （ウ） は

$$ \frac{2e^{3/2}+4}{9}

$$

である。

解説

$\sqrt{x}\log x$ のような関数では、まず $x^{1/2}\log x$ と見て積の微分を行うのが基本である。導関数は

$$ f'(x)=\frac{\log x+2}{2\sqrt{x}}

$$

となり、分母は常に正なので、分子だけを見れば増減が分かる。

また、変曲点は単に $f''(x)=0$ を満たすだけでは不十分であり、その前後で符号が変わることを確認する必要がある。この問題では $x=1$ を境に $\log x$ の符号が変わるため、確かに変曲点となる。

答え

$$ \text{(ア)}=-\frac{2}{e},\qquad \text{(イ)}=1,\qquad \text{(ウ)}=\frac{2e^{3/2}+4}{9}

$$