解説

方針・初手

共有点は、2つの曲線の $y$ 座標が等しい点であるから、方程式

$$ \frac{1}{x}=\frac{9}{(x+2)^2}

$$

を解けばよい。

面積は、共有点の $x$ 座標の間で、上側の曲線から下側の曲線を引いて積分する。

解法1

まず、共有点の $x$ 座標を求める。

$$ \frac{1}{x}=\frac{9}{(x+2)^2}

$$

より、$x\neq 0,-2$ のもとで両辺に $x(x+2)^2$ をかけると、

$$ (x+2)^2=9x

$$

したがって、

$$ x^2+4x+4=9x

$$

$$ x^2-5x+4=0

$$

$$ (x-1)(x-4)=0

$$

よって、共有点の $x$ 座標は

$$ x=1,\ 4

$$

である。$\alpha<\beta$ より、

$$ \alpha=1,\quad \beta=4

$$

である。

次に、面積 $S$ を求める。区間 $1<x<4$ において、例えば $x=2$ を代入すると、

$$ \frac{1}{2}<\frac{9}{(2+2)^2}

$$

すなわち、この区間では $C_2$ が $C_1$ より上側にある。したがって、

$$ S=\int_1^4 \left\{\frac{9}{(x+2)^2}-\frac{1}{x}\right\},dx

$$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S &=\int_1^4 \left\{\frac{9}{(x+2)^2}-\frac{1}{x}\right\},dx \\ &=\left[-\frac{9}{x+2}-\log x\right]_1^4 \\ &=\left(-\frac{9}{6}-\log 4\right)-\left(-\frac{9}{3}-\log 1\right) \\ &=\left(-\frac{3}{2}-\log 4\right)-(-3) \\ &=\frac{3}{2}-\log 4 \end{aligned}

$$

よって、

$$ S=\frac{3}{2}-\log 4

$$

である。

解説

共有点の $x$ 座標を求めるには、2つの関数の値を等しいとおく。分母に $x$ や $(x+2)^2$ があるため、$x\neq 0,-2$ に注意して処理する。

面積計算では、どちらの曲線が上側にあるかを確認する必要がある。この問題では、区間 $1<x<4$ で $C_2$ が上側、$C_1$ が下側であるため、

$$ \int_1^4 (C_2-C_1),dx

$$

を計算すればよい。

答え

**(1)**

$$ \alpha=1,\quad \beta=4

$$

**(2)**

$$ S=\frac{3}{2}-\log 4

$$