解説

方針・初手

指数関数 $e^{2x-1}$ をそのまま微分してもよいが、$t=e^{2x-1}$ とおくと計算が整理される。まず $f'(x), f''(x)$ を求め、$f'(x)$ の符号で増減、$f''(x)$ の符号で凹凸と変曲点を調べる。

解法1

$t=e^{2x-1}$ とおくと、$t>0$ であり、

$$ f(x)=\frac{1}{1+t}

$$

である。また、

$$ \frac{dt}{dx}=2e^{2x-1}=2t

$$

であるから、

$$ f'(x) =-\frac{1}{(1+t)^2}\cdot 2t =-\frac{2t}{(1+t)^2}

$$

となる。したがって、

$$ f'(x)=-\frac{2e^{2x-1}}{(1+e^{2x-1})^2}

$$

である。

次に、$f'(x)=-2t(1+t)^{-2}$ を微分すると、

$$ \begin{aligned} f''(x) &=-2\left\{2t(1+t)^{-2}+t\cdot(-2)(1+t)^{-3}\cdot 2t\right\} \\ &=-4t(1+t)^{-2}+8t^2(1+t)^{-3} \\ &=\frac{-4t(1+t)+8t^2}{(1+t)^3} \\ &=\frac{4t(t-1)}{(1+t)^3} \end{aligned}

$$

よって、

$$ f''(x)=\frac{4e^{2x-1}(e^{2x-1}-1)}{(1+e^{2x-1})^3}

$$

である。

$f'(x)$ については、分母は正、$e^{2x-1}>0$ であるから、すべての実数 $x$ に対して

$$ f'(x)<0

$$

である。したがって、$f(x)$ は全区間で単調減少する。

$f''(x)$ の符号は、$e^{2x-1}-1$ の符号で決まる。すなわち、

$$ e^{2x-1}-1=0

$$

より、

$$ 2x-1=0

$$

したがって、

$$ x=\frac{1}{2}

$$

である。このとき、

$$ f\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{1+e^0} =\frac{1}{2}

$$

である。よって、変曲点は

$$ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)

$$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to\infty}f(x) &= \lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+e^{2x-1}} =0 \end{aligned} $$

より、1本目の漸近線は $y=0$ である。

一方、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to-\infty}f(x) &= \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{1+e^{2x-1}} =1 \end{aligned} $$

より、もう一方の漸近線は

$$ y=1

$$

である。

増減表は次のようになる。

| $x$ | $-\infty$ | | $\frac{1}{2}$ | | $\infty$ | | -------- | --------: | -----: | ------------: | -----: | -------: | | $f'(x)$ | | $-$ | $-$ | $-$ | | | $f''(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $1$ | 減少・上に凸 | $\frac{1}{2}$ | 減少・下に凸 | $0$ |

したがって、グラフは左側で漸近線 $y=1$ に近づき、点 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ で変曲し、その後も減少しながら右側で漸近線 $y=0$ に近づく曲線である。

次に、$y=1$、$y$ 軸、直線 $x=1$、曲線 $y=f(x)$ で囲まれる部分の面積を求める。

区間 $0\leqq x\leqq 1$ において、曲線 $y=f(x)$ は直線 $y=1$ の下側にある。したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^1{1-f(x)},dx

$$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} 1-f(x) &= 1-\frac{1}{1+e^{2x-1}} \\ \frac{e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}} \end{aligned} $$

より、

$$ S=\int_0^1 \frac{e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}},dx

$$

となる。

$u=1+e^{2x-1}$ とおくと、

$$ du=2e^{2x-1},dx

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} S &=\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{2e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}},dx \\ &=\frac{1}{2}\left[\log(1+e^{2x-1})\right]_0^1 \\ &=\frac{1}{2}{\log(1+e)-\log(1+e^{-1})} \end{aligned}

$$

ここで、

$$ 1+e^{-1}=\frac{1+e}{e}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} S &=\frac{1}{2}\log\frac{1+e}{1+e^{-1}} \\ &=\frac{1}{2}\log e \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}

$$

したがって、求める面積は

$$ \frac{1}{2}

$$

である。

解説

この問題では、$f'(x)$ の符号が常に負であること、$f''(x)$ の符号が $x=\frac{1}{2}$ を境に変わることを確認するのが中心である。

$f''(x)$ の分母は常に正なので、凹凸の判定では分子の $e^{2x-1}-1$ だけを見ればよい。この見方をすると、変曲点の計算が簡潔になる。

面積計算では、囲まれる領域の上側が漸近線 $y=1$、下側が曲線 $y=f(x)$ であることを確認してから積分する必要がある。ここを逆にすると符号が負になるため注意する。

答え

**(1)**

$$ \boxed{①\ -\frac{2e^{2x-1}}{(1+e^{2x-1})^2}}

$$

$$ \boxed{②\ 4e^{2x-1}(e^{2x-1}-1)}

$$

$$ \boxed{③\ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}

$$

$$ \boxed{④\ y=1}

$$

**(2)**

$f(x)$ は全区間で単調減少する。$x=\frac{1}{2}$ で変曲し、左側では上に凸、右側では下に凸である。グラフは左で漸近線 $y=1$ に近づき、右で漸近線 $y=0$ に近づく。

**(3)**

$$ \boxed{\frac{1}{2}}

$$