基礎問題集

数学3 積分法「定積分・面積」の問題135 解説

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数学3積分法定積分・面積問題135

解説

分母に $1+e^{-x}$ があり、分子は $e^{-2x}$ である。ここで $e^{-2x}=e^{-x}\cdot e^{-x}$ と見れば、$e^{-x}$ を文字で置換すると分母も分子も整理しやすい。

したがって、まず

$$ t=e^{-x}

とおく。

$t=e^{-x}$ とおくと、

$$ \frac{dt}{dx}=-e^{-x}=-t

より

$$ dt=-t,dx,\qquad dx=-\frac{1}{t},dt

である。

したがって、与えられた積分は

$$ \begin{aligned} \int \frac{e^{-2x}}{1+e^{-x}},dx &= \int \frac{t^2}{1+t}\left(-\frac{1}{t},dt\right) \\ -\int \frac{t}{1+t},dt \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ \frac{t}{1+t}=1-\frac{1}{1+t}

であるから、

$$ \begin{aligned} -\int \frac{t}{1+t},dt &= -\int \left(1-\frac{1}{1+t}\right),dt \\ -t+\log(1+t)+C \end{aligned} $$

となる。

最後に $t=e^{-x}$ を戻して、

$$ -e^{-x}+\log(1+e^{-x})+C

を得る。

この問題では、指数関数 $e^{-x}$ を1つの文字として見るのが基本方針である。分子の $e^{-2x}$ をそのまま扱おうとすると見通しが悪いが、$e^{-2x}=e^{-x}\cdot e^{-x}$ と分けると、置換によって有理式の積分に帰着できる。

また、$\dfrac{t}{1+t}$ を

$$ 1-\frac{1}{1+t}

と分解するのが計算の要点である。

$$ \begin{aligned} \int \frac{e^{-2x}}{1+e^{-x}},dx &= -e^{-x}+\log(1+e^{-x})+C \end{aligned} $$

したがって、空欄は

$$ \boxed{-e^{-x}+\log(1+e^{-x})}

である。