解説

方針・初手

$ x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) $ と因数分解できるので、部分分数分解の形をそのまま通分して係数比較を行えばよい。

その後、分子が各分母の微分に対応する形になっていることを使って積分する。

解法1

与式

$$ \frac{x-1}{x^3+1}=\frac{\alpha x+\beta}{x^2-x+1}+\frac{\gamma}{x+1}

$$

において、$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ であるから、両辺に $(x+1)(x^2-x+1)$ を掛けると

$$ x-1=(\alpha x+\beta)(x+1)+\gamma(x^2-x+1)

$$

となる。

右辺を展開すると

$$ \begin{aligned} (\alpha x+\beta)(x+1)+\gamma(x^2-x+1) &=\alpha x^2+\alpha x+\beta x+\beta+\gamma x^2-\gamma x+\gamma \\ &=(\alpha+\gamma)x^2+(\alpha+\beta-\gamma)x+(\beta+\gamma) \end{aligned}

$$

これが $x-1$ に一致するので、係数比較により

$$ \begin{cases} \alpha+\gamma=0 \\ \alpha+\beta-\gamma=1 \\ \beta+\gamma=-1 \end{cases}

$$

を得る。

第1式から

$$ \gamma=-\alpha

$$

である。これを第3式に代入すると

$$ \beta-\alpha=-1

$$

すなわち

$$ \beta=\alpha-1

$$

となる。これらを第2式に代入すると

$$ \alpha+(\alpha-1)-(-\alpha)=1

$$

より

$$ 3\alpha-1=1

$$

したがって

$$ \alpha=\frac{2}{3}

$$

である。よって

$$ \beta=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3},\qquad \gamma=-\frac{2}{3}

$$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} \frac{x-1}{x^3+1} &= \frac{\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}}{x^2-x+1} -\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x+1} &= \frac{1}{3}\cdot\frac{2x-1}{x^2-x+1} -\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x+1} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ \frac{d}{dx}(x^2-x+1)=2x-1

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int \frac{x-1}{x^3+1},dx &= \frac{1}{3}\int \frac{2x-1}{x^2-x+1},dx -\frac{2}{3}\int \frac{1}{x+1},dx \end{aligned} $$

$$ \frac{1}{3}\log(x^2-x+1)-\frac{2}{3}\log|x+1|+C $$

となる。

これを1つの対数にまとめると

$$

\int \frac{x-1}{x^3+1},dx \int \frac{x-1}{x^3+1},dx = \frac{1}{3}\log\left(\frac{x^2-x+1}{(x+1)^2}\right)+C $$

である。

解説

この問題の要点は、$x^3+1$ を $(x+1)(x^2-x+1)$ と因数分解して部分分数分解することである。

分解後の

$$ \frac{2x-1}{x^2-x+1} $$

は、分母の微分が分子になっているので、そのまま対数の形に積分できる。部分分数分解をした後に、分子が「分母の微分」になっているかを確認するのが典型手順である。

答え

$$ \alpha=\frac{2}{3},\qquad \beta=-\frac{1}{3},\qquad \gamma=-\frac{2}{3} $$

したがって

$$

[オ]=\frac{2}{3},\qquad [カ]=-\frac{1}{3},\qquad [キ]=-\frac{2}{3}

$$

また、

$$

\int \frac{x-1}{x^3+1},dx = \frac{1}{3}\log\left(\frac{x^2-x+1}{(x+1)^2}\right)+C

$$

より

$$

[ク]=\frac{x^2-x+1}{(x+1)^2}

$$