解説

方針・初手

積分の中に $x$ が含まれているので、まずは積分を含む部分を微分して $F'(x),F''(x)$ を求めるのが自然である。

そのうえで、$0\leqq x\leqq \pi$ における増減を調べれば最大値・最小値が決まる。必要な関数値は、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を簡単な形に直して求める。

解法1

まず

$$ I(x)=\int_0^x (t-x)\sin t,dt

$$

とおく。

このとき、積分の上端と被積分関数の両方に $x$ が入っているので、微分すると

$$ I'(x)=(x-x)\sin x+\int_0^x \frac{\partial}{\partial x}\bigl((t-x)\sin t\bigr),dt

$$

である。ここで

$$ \frac{\partial}{\partial x}\bigl((t-x)\sin t\bigr)=-\sin t

$$

だから、

$$ I'(x)=0+\int_0^x (-\sin t),dt =\cos x-1

$$

となる。

したがって

$$ F'(x)=\frac12+I'(x)=\frac12+(\cos x-1)=\cos x-\frac12

$$

である。

さらに微分して

$$ F''(x)=-\sin x

$$

を得る。

次に、$F(x)$ の最大値・最小値を調べる。

$F'(x)=\cos x-\dfrac12$ であるから、$F'(x)=0$ となるのは

$$ \cos x=\frac12

$$

すなわち、$0\leqq x\leqq \pi$ では

$$ x=\frac{\pi}{3}

$$

のみである。

ここで、$0\leqq x\leqq \pi$ において $\cos x$ は単調減少するので、

**(i)**

$0\leqq x<\dfrac{\pi}{3}$ では $\cos x>\dfrac12$ より $F'(x)>0$

**(ii)**

$x=\dfrac{\pi}{3}$ では $F'(x)=0$

**(iii)**

$\dfrac{\pi}{3}<x\leqq \pi$ では $\cos x<\dfrac12$ より $F'(x)<0$

となる。

よって、$F(x)$ は

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{3}

$$

で増加し、

$$ \frac{\pi}{3}\leqq x\leqq \pi

$$

で減少する。したがって最大値は $x=\dfrac{\pi}{3}$ でとる。

最大値・最小値を具体的に求めるために、$F(x)$ を求めておく。$F'(x)=\cos x-\dfrac12$ かつ $F(0)=0$ であるから、

$$ F(x)=\int_0^x \left(\cos t-\frac12\right),dt =\sin x-\frac{x}{2}

$$

である。

よって

$$ F\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}

$$

また、端点では

$$ F(0)=0,\qquad F(\pi)=\sin\pi-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}

$$

である。

したがって、

$$ \max_{0\leqq x\leqq \pi}F(x)=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}, \qquad \min_{0\leqq x\leqq \pi}F(x)=-\frac{\pi}{2}

$$

となる。

解説

この問題の要点は、積分で定義された関数をそのまま微分して増減を調べることである。

特に

$$ \int_0^x (t-x)\sin t,dt

$$

のように、上端と被積分関数の両方に $x$ が入る場合は、積分の微分公式を正確に使うことが重要である。

また、極値の判定では、臨界点だけでなく閉区間なので端点 $x=0,\pi$ の値も必ず比較しなければならない。

答え

**(1)**

$$ F'(x)=\cos x-\frac12,\qquad F''(x)=-\sin x

$$

**(2)**

最大値は

$$ \frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6} \quad \left(x=\frac{\pi}{3}\right)

$$

最小値は

$$ -\frac{\pi}{2} \quad (x=\pi)

$$