解説

方針・初手

まず

$$ f(x)=\int_0^x \frac{dt}{1+t^2}=\arctan x

$$

である。したがって $g(x)$ は $x\neq 0$ で定義される。

次に $g'(x)$ を計算すると，$x>0$ と $x<0$ の各区間で定数関数であることが分かる。あとは $x=1,-1$ での値を求めればグラフが決まる。

解法1

$h(x)=\dfrac{1-x^2}{2x}$ とおくと，

$$ g(x)=2f(x)+f(h(x))

$$

である。

$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ より，$x\neq 0$ で

$$ g'(x)=2f'(x)+f'(h(x))h'(x)

$$

となる。ここで

$$ h(x)=\frac{1}{2x}-\frac{x}{2}

$$

だから，

$$ h'(x)=-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2} =-\frac{1+x^2}{2x^2}

$$

また，

$$ 1+h(x)^2 =1+\left(\frac{1-x^2}{2x}\right)^2 =\frac{(1+x^2)^2}{4x^2}

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} f'(h(x))h'(x) &=\frac{1}{1+h(x)^2},h'(x) \\ &=\frac{4x^2}{(1+x^2)^2}\cdot \left(-\frac{1+x^2}{2x^2}\right) \\ &=-\frac{2}{1+x^2}. \end{aligned}

$$

よって

$$ g'(x)=\frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1+x^2}=0

$$

となる。ゆえに $g(x)$ は区間 $(0,\infty)$ と $(-\infty,0)$ でそれぞれ定数である。

そこで $x=1,-1$ を代入する。

$$ g(1)=2f(1)+f(0) =2\int_0^1 \frac{dt}{1+t^2} =2\cdot \frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2}

$$

$$ g(-1)=2f(-1)+f(0) =2\int_0^{-1} \frac{dt}{1+t^2} =2\cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) =-\frac{\pi}{2}

$$

以上より，

**(i)**

$x>0$ のとき $g(x)=g(1)=\dfrac{\pi}{2}$

**(ii)**

$x<0$ のとき $g(x)=g(-1)=-\dfrac{\pi}{2}$

したがってグラフは，$x>0$ では直線 $y=\dfrac{\pi}{2}$，$x<0$ では直線 $y=-\dfrac{\pi}{2}$ である。$x=0$ では定義されないので，その点は空いている。

解説

この問題の要点は，$g(x)$ を直接変形しようとするのではなく，微分して一定かどうかを調べることである。

実際，合成関数の微分を行うと $2/(1+x^2)$ とちょうど打ち消し合う項が現れ，$g'(x)=0$ となる。すると各連結区間 $x>0$，$x<0$ で $g(x)$ は定数なので，代表点 $x=1,-1$ の値だけで全体のグラフが決まる。

答え

**(1)**

$$ g(1)=\frac{\pi}{2},\qquad g(-1)=-\frac{\pi}{2}

$$

**(2)**

$$ g(x)= \begin{cases} \dfrac{\pi}{2} & (x>0),\\[4pt] -\dfrac{\pi}{2} & (x<0) \end{cases}

$$

したがって，グラフは $x>0$ で水平線 $y=\dfrac{\pi}{2}$，$x<0$ で水平線 $y=-\dfrac{\pi}{2}$ である。