基礎問題集

数学3 積分法「定積分・面積」の問題140 解説

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数学3積分法定積分・面積問題140

解説

積分区間が $[-1,1]$ で対称であることを利用する。被積分関数 $\dfrac{x^2}{1+e^x}$ に対して $x$ を $-x$ に置き換えた式を作ると，2つを足したとき分母がうまく消える。まず

$$ I=\int_{-1}^{1}\frac{x^2}{1+e^x},dx

とおく。

$x=-t$ と置換する。すると $dx=-dt$ であり，積分区間は $x=-1\to t=1,\ x=1\to t=-1$ となるから，

$$ I=\int_{1}^{-1}\frac{(-t)^2}{1+e^{-t}}(-dt) =\int_{-1}^{1}\frac{t^2}{1+e^{-t}},dt

となる。積分変数はダミーなので，再び $x$ と書けば

$$ I=\int_{-1}^{1}\frac{x^2}{1+e^{-x}},dx

である。

ここで，最初の式とこの式を足すと

$$ 2I=\int_{-1}^{1}\left(\frac{x^2}{1+e^x}+\frac{x^2}{1+e^{-x}}\right)dx

となる。括弧内をまとめると，

$$ \begin{aligned} \frac{x^2}{1+e^x}+\frac{x^2}{1+e^{-x}} &= x^2\left(\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}\right) \end{aligned} $$

であり，

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1+e^{-x}} &= \frac{e^x}{1+e^x} \end{aligned} $$

だから，

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}} &= \frac{1}{1+e^x}+\frac{e^x}{1+e^x} =1 \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ 2I=\int_{-1}^{1}x^2,dx

である。よって

$$ 2I=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} =\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right) =\frac{2}{3}

より，

$$ I=\frac{1}{3}

を得る。

この問題の要点は，$x$ を $-x$ に置き換えたときに

$$ \frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}=1

が成り立つことにある。積分区間が $[-1,1]$ のように対称なときは，$f(x)$ と $f(-x)$ を比べる方針が非常に有効である。

特に今回は $x^2$ が偶関数であるため，置換後も形が崩れず，和を取ることで一気に簡単な積分に帰着できる。

$$ \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{1+e^x},dx=\frac{1}{3}