解説

方針・初手

$2e^x$ との大小比較では、両辺を正の量 $e^x$ で割って考える。すなわち

$$ f(x)-2e^x=e^x{(x+1)e^{x-1}-2}

$$

であるから、$(x+1)e^{x-1}$ と $2$ の大小を調べればよい。

解法1

関数

$$ g(x)=(x+1)e^{x-1}

$$

を考える。すると

$$ g'(x)=e^{x-1}+(x+1)e^{x-1}=(x+2)e^{x-1}

$$

である。$e^{x-1}>0$ なので、$x>-2$ において $g'(x)>0$ であり、$g(x)$ は $x>-2$ で増加する。

また、

$$ g(1)=2e^0=2

$$

である。

**(1)**

$x>1$ のとき、$x>-2$ の範囲で $g(x)$ は増加するから

$$ g(x)>g(1)=2

$$

である。よって

$$ (x+1)e^{x-1}>2

$$

であり、両辺に正の数 $e^x$ をかけて

$$ (x+1)e^{2x-1}>2e^x

$$

を得る。したがって

$$ f(x)>2e^x

$$

である。

**(2)**

$x<1$ のときを考える。

まず $x\leqq -1$ のとき、$x+1\leqq 0$ であり、$e^{2x-1}>0$ だから

$$ f(x)=(x+1)e^{2x-1}\leqq 0

$$

である。一方、$2e^x>0$ なので

$$ f(x)<2e^x

$$

が成り立つ。

次に $-1<x<1$ のとき、この範囲は $x>-2$ に含まれるので $g(x)$ は増加する。したがって

$$ g(x)<g(1)=2

$$

である。よって

$$ (x+1)e^{x-1}<2

$$

であり、両辺に正の数 $e^x$ をかけて

$$ (x+1)e^{2x-1}<2e^x

$$

を得る。したがって

$$ f(x)<2e^x

$$

である。

以上より、$x<1$ のすべてで

$$ f(x)<2e^x

$$

が成り立つ。

（3） 2つの曲線 $y=2e^x$ と $y=f(x)$ は、$x=1$ で交わる。実際、

$$ f(1)=(1+1)e^{2\cdot 1-1}=2e

$$

であり、

$$ 2e^1=2e

$$

である。

また、(2)より $x<1$ では

$$ f(x)<2e^x

$$

である。したがって、$y$ 軸すなわち $x=0$ と、交点 $x=1$ の間で、上側の曲線は $y=2e^x$、下側の曲線は $y=f(x)$ である。

求める面積を $S$ とすると、

$$ S=\int_0^1{2e^x-(x+1)e^{2x-1}},dx

$$

である。

まず

$$ \int_0^1 2e^x,dx=2(e-1)

$$

である。

次に

$$ \int (x+1)e^{2x-1},dx =e^{-1}\int (x+1)e^{2x},dx

$$

を計算する。

部分積分、または公式的な計算により

$$ \int (x+1)e^{2x},dx =e^{2x}\left(\frac{x}{2}+\frac14\right)

$$

である。したがって

$$ \int_0^1 (x+1)e^{2x-1},dx =e^{-1}\left[e^{2x}\left(\frac{x}{2}+\frac14\right)\right]_0^1

$$

となる。これを計算すると

$$ \begin{aligned} \int_0^1 (x+1)e^{2x-1},dx &=e^{-1}\left\{e^2\left(\frac12+\frac14\right)-\frac14\right\} \\ &=e^{-1}\left(\frac34e^2-\frac14\right) \\ &=\frac34e-\frac{1}{4e} \end{aligned}

$$

である。

よって

$$ \begin{aligned} S &=2(e-1)-\left(\frac34e-\frac{1}{4e}\right) \\ &=2e-2-\frac34e+\frac{1}{4e} \\ &=\frac54e-2+\frac{1}{4e} \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題の中心は、$f(x)$ と $2e^x$ を直接比較するのではなく、正の因子 $e^x$ をくくり出して

$$ (x+1)e^{x-1}

$$

と $2$ の大小比較に帰着する点である。

ただし、$g(x)=(x+1)e^{x-1}$ は全実数で単調増加ではない。$g'(x)=(x+2)e^{x-1}$ なので、単調増加といえるのは $x>-2$ の範囲である。そのため、$x<1$ の証明では $x\leqq -1$ と $-1<x<1$ に分けると条件漏れがない。

面積は、(1)(2)で得た大小関係により、$0\leqq x\leqq 1$ で上側が $y=2e^x$、下側が $y=f(x)$ と分かるので、差の積分で求めればよい。

答え

**(1)**

$x>1$ のとき、

$$ f(x)>2e^x

$$

である。

**(2)**

$x<1$ のとき、

$$ f(x)<2e^x

$$

である。

**(3)**

求める面積は

$$ \frac54e-2+\frac{1}{4e}

$$

である。