解説

方針・初手

まず加法定理で $\tan \dfrac{5\pi}{12}$ を求める。

すると積分の上端が $2\tan \dfrac{5\pi}{12}$ と見えるので、$x=2\tan \theta$ と置くと積分が三角関数の基本積分に直る。

解法1

加法定理より、

$$ \tan \frac{5\pi}{12} =\tan \left( \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6} \right) =\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\pi}{6}}{1-\tan \frac{\pi}{4}\tan \frac{\pi}{6}} =\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}

$$

である。

分母を有理化すると、

$$ \tan \frac{5\pi}{12} =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} =\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} =\frac{4+2\sqrt{3}}{2} =2+\sqrt{3}

$$

したがって、

$$ \tan \frac{5\pi}{12}=2+\sqrt{3}

$$

である。

次に

$$ I=\int_0^{2(2+\sqrt{3})}\frac{16}{(x^2+4)^2},dx

$$

を求める。

ここで $2+\sqrt{3}=\tan \dfrac{5\pi}{12}$ であるから、上端は $2\tan \dfrac{5\pi}{12}$ である。そこで

$$ x=2\tan \theta

$$

と置くと、

$$ dx=2\sec^2\theta,d\theta,\qquad x^2+4=4\tan^2\theta+4=4\sec^2\theta

$$

である。よって

$$ \frac{16}{(x^2+4)^2},dx =\frac{16}{(4\sec^2\theta)^2}\cdot 2\sec^2\theta,d\theta =2\cos^2\theta,d\theta

$$

となる。

また、積分区間は

$$ x=0 \Rightarrow \theta=0,\qquad x=2(2+\sqrt{3})=2\tan \frac{5\pi}{12} \Rightarrow \theta=\frac{5\pi}{12}

$$

となるので、

$$ I=\int_0^{5\pi/12}2\cos^2\theta,d\theta

$$

を得る。ここで

$$ 2\cos^2\theta=1+\cos 2\theta

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} I &=\int_0^{5\pi/12}(1+\cos 2\theta),d\theta \\ &=\left[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_0^{5\pi/12} \\ &=\frac{5\pi}{12}+\frac{1}{2}\sin \frac{5\pi}{6} \\ &=\frac{5\pi}{12}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \\ &=\frac{5\pi}{12}+\frac{1}{4} \end{aligned}

$$

したがって、

$$ I=\frac{5\pi}{12}+\frac{1}{4}

$$

である。

解説

$\tan \dfrac{5\pi}{12}$ は $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}$ と分解して加法定理を使うのが基本である。

また、$\dfrac{1}{(x^2+a^2)^2}$ 型の積分は $x=a\tan\theta$ の置換が典型である。本問では上端がちょうど $2\tan \dfrac{5\pi}{12}$ の形になっているため、先に $\tan \dfrac{5\pi}{12}$ を求めることが積分計算にもそのままつながる。

答え

$$ (\text{ク})=2+\sqrt{3}

$$

$$ (\text{ケ})=\frac{5\pi}{12}+\frac{1}{4}

$$