解説

方針・初手

共有点は $x\sin^2 x=x$ から求める。正の共有点だけを考えるので、$x=0$ は除外し、$\sin^2 x=1$ を解けばよい。

面積は、連続する共有点の間で直線 $y=x$ が曲線 $y=x\sin^2 x$ の上にあることを使い、差の積分で求める。

解法1

（1） 共有点では

$$ x\sin^2 x=x

$$

が成り立つ。これを変形すると

$$ x(\sin^2 x-1)=0

$$

である。

$x$ 座標が正の共有点だけを考えるので、$x=0$ は除く。したがって

$$ \sin^2 x=1

$$

すなわち

$$ \sin x=\pm 1

$$

である。よって正の解は

$$ x=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\cdots

$$

であるから、第 $n$ 番目の共有点 $A_n$ の $x$ 座標は

$$ x_n=\frac{2n-1}{2}\pi

$$

である。

また、曲線

$$ y=x\sin^2 x

$$

の導関数は

$$ \frac{dy}{dx} =\sin^2 x+2x\sin x\cos x =\sin^2 x+x\sin 2x

$$

である。

ここで

$$ x=x_n=\frac{2n-1}{2}\pi

$$

とすると、

$$ \sin^2 x_n=1,\qquad \sin 2x_n=\sin{(2n-1)\pi}=0

$$

である。したがって

$$ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_n}=1

$$

である。

一方、直線 $y=x$ の傾きも $1$ である。曲線と直線は $A_n$ で共有点をもち、さらに傾きも等しい。よって、点 $A_n$ において曲線 $y=x\sin^2 x$ と直線 $y=x$ は接している。

**(2)**

$$ a=\frac{2n-1}{2}\pi,\qquad b=\frac{2n+1}{2}\pi

$$

とおく。このとき、$A_n,A_{n+1}$ の $x$ 座標はそれぞれ $a,b$ である。

区間 $a\leqq x\leqq b$ では、$x>0$ かつ $\sin^2 x\leqq 1$ より

$$ x\sin^2 x\leqq x

$$

である。したがって、求める面積 $S_n$ は

$$ S_n=\int_a^b {x-x\sin^2 x},dx

$$

である。整理すると

$$ S_n=\int_a^b x(1-\sin^2 x),dx =\int_a^b x\cos^2 x,dx

$$

となる。

ここで

$$ \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} S_n &=\int_a^b x\cdot \frac{1+\cos 2x}{2},dx\\ &=\left[\frac{x^2}{4}+\frac{x\sin 2x}{4}+\frac{\cos 2x}{8}\right]_a^b \end{aligned}

$$

である。

$a,b$ について

$$ 2a=(2n-1)\pi,\qquad 2b=(2n+1)\pi

$$

だから、

$$ \sin 2a=\sin 2b=0,\qquad \cos 2a=\cos 2b=-1

$$

である。よって三角関数を含む項は打ち消し合い、

$$ S_n=\frac{b^2-a^2}{4}

$$

となる。

さらに

$$ b-a=\pi,\qquad a+b=2n\pi

$$

であるから、

$$ S_n=\frac{(b-a)(a+b)}{4} =\frac{\pi\cdot 2n\pi}{4} =\frac{n\pi^2}{2}

$$

である。

解説

この問題では、共有点の条件を

$$ x(\sin^2 x-1)=0

$$

と分解したあと、正の $x$ 座標のみを扱う点が重要である。$x=0$ も共有点ではあるが、問題では正の $x$ 座標をもつ共有点を $A_1,A_2,\ldots$ としているので、$A_n$ には含めない。

接することの確認では、共有点であることに加えて、曲線の接線の傾きが直線 $y=x$ の傾き $1$ と一致することを示せばよい。

面積については、連続する共有点の間で常に

$$ x\sin^2 x\leqq x

$$

が成り立つため、絶対値を使った場合分けは不要である。差の積分が

$$ \int_a^b x\cos^2 x,dx

$$

にまとまることが計算の中心である。

答え

**(1)**

$$ A_n\text{ の }x\text{ 座標}=\frac{2n-1}{2}\pi

$$

また、点 $A_n$ において曲線 $y=x\sin^2 x$ と直線 $y=x$ は接している。

**(2)**

$$ \frac{n\pi^2}{2}

$$