解説

方針・初手

(1) は $\sin x$ と直線 $\dfrac{2}{\pi}x$ の大小比較である。両辺の差を関数としておき、微分によって増減を調べる。

(2) は (1) の不等式を指数関数の中に使うと、積分全体を計算可能な指数関数の積分で上から評価できる。

解法1

まず

$$ f(x)=\sin x-\frac{2}{\pi}x

$$

とおく。示すべきことは、$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ において $f(x)\geqq 0$ である。

微分すると

$$ f'(x)=\cos x-\frac{2}{\pi}

$$

である。$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ において $\cos x$ は単調に減少するから、$f'(x)$ は単調に減少する。

また

$$ f'(0)=1-\frac{2}{\pi}>0,\qquad f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{2}{\pi}<0

$$

である。したがって、$f'(x)=0$ となる点を境に、$f(x)$ は増加から減少に変わる。

一方、

$$ f(0)=0,\qquad f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1-\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}=0

$$

である。よって、$f(x)$ は端点で $0$ をとり、その間では増加してから減少するので、

$$ f(x)\geqq 0

$$

が成り立つ。したがって

$$ \sin x\geqq \frac{2}{\pi}x

$$

である。

次に (2) を示す。(1) より、$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ において

$$ \sin x\geqq \frac{2}{\pi}x

$$

である。よって、指数関数 $e^{-nt}$ は $t$ について単調減少であるから、

$$ e^{-n\sin x}\leqq e^{-n\cdot \frac{2}{\pi}x} =e^{-\frac{2n}{\pi}x}

$$

が成り立つ。

したがって

$$ 0\leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-n\sin x},dx \leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\frac{2n}{\pi}x},dx

$$

である。右辺を計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\frac{2n}{\pi}x},dx &= \left[-\frac{\pi}{2n}e^{-\frac{2n}{\pi}x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &= \frac{\pi}{2n}\left(1-e^{-n}\right) \end{aligned}

$$

となる。ここで

$$ 0\leqq \frac{\pi}{2n}\left(1-e^{-n}\right)\leqq \frac{\pi}{2n}

$$

であり、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{2n}=0

$$

である。はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-n\sin x},dx=0

$$

である。

解法2

(1) は $\sin x$ のグラフの性質からも示せる。$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ において

$$ (\sin x)''=-\sin x\leqq 0

$$

であるから、$y=\sin x$ のグラフは上に凸である。上に凸な関数のグラフは、区間の両端を結ぶ弦より上側にある。

区間 $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ の両端における点は

$$ (0,0),\qquad \left(\frac{\pi}{2},1\right)

$$

である。この2点を結ぶ直線の方程式は

$$ y=\frac{2}{\pi}x

$$

である。したがって

$$ \sin x\geqq \frac{2}{\pi}x

$$

が成り立つ。

この不等式を使えば、(2) は解法1と同様に

$$ \begin{aligned} 0\leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-n\sin x},dx \leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\frac{2n}{\pi}x},dx &= \frac{\pi}{2n}\left(1-e^{-n}\right) \end{aligned} $$

と評価できる。右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束するので、

$$ \lim_{n\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-n\sin x},dx=0

$$

である。

解説

この問題の中心は、積分そのものを直接計算しようとしない点にある。$e^{-n\sin x}$ の積分はそのままでは扱いにくいが、(1) の不等式を使うと

$$ e^{-n\sin x}\leqq e^{-\frac{2n}{\pi}x}

$$

となり、右辺は簡単に積分できる。

(1) は単なる準備ではなく、(2) のための評価式である。特に、$x=0$ の近くで $\sin x$ が $x$ に比例して下から押さえられることが、積分全体を $O\left(\dfrac{1}{n}\right)$ で評価できる理由である。

答え

**(1)**

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}

$$

において

$$ \sin x\geqq \frac{2}{\pi}x

$$

が成り立つ。

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-n\sin x},dx=0

$$