解説

方針・初手

点 $A$ の動きはすぐに分かり、$A$ は半径 $2$ の円周上を動く。したがって、まず点 $A$ の座標を $\theta$ で表す。

次に、円 $S_2$ はすべることなく転がるので、自転角が求まる。これにより、$\overrightarrow{AP}$ を $\theta$ で表せば、点 $P$ の座標が得られる。面積は媒介変数表示された閉曲線の面積公式

$$ \frac12 \int (x,dy-y,dx)

$$

を用いるのが最も直接的である。

解法1

**(1)**

$x(\theta),y(\theta)$ を求める。

点 $A$ は原点 $O$ を中心とする半径 $2$ の円周上を動くから、

$$ A=(2\cos\theta,\ 2\sin\theta)

$$

である。

また、円 $S_2$ は半径 $1$ の円 $S_1$ のまわりをすべらずに転がる。動径 $OA$ が角 $\theta$ だけ回転すると、$S_1$ 上で接した弧の長さは半径 $1$ より $\theta$ である。したがって、半径 $1$ の円 $S_2$ の自転角も $\theta$ である。

初めに $\overrightarrow{AP}=(-1,0)$ であったから、$\overrightarrow{AP}$ は公転による $\theta$ と自転による $\theta$ を合わせて、合計 $2\theta$ だけ回転する。よって

$$ \overrightarrow{AP}=(-\cos 2\theta,\ -\sin 2\theta)

$$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} x(\theta)&=2\cos\theta-\cos 2\theta,\\ y(\theta)&=2\sin\theta-\sin 2\theta \end{aligned}

$$

である。

（2） 曲線 $C$ が $x$ 軸に関して対称であることを示す。

（1） の結果を用いて $\theta$ を $2\pi-\theta$ に置き換えると、

$$ \begin{aligned} x(2\pi-\theta) &=2\cos(2\pi-\theta)-\cos{2(2\pi-\theta)}\\ &=2\cos\theta-\cos 2\theta\\ &=x(\theta), \end{aligned}

$$

$$ \begin{aligned} y(2\pi-\theta) &=2\sin(2\pi-\theta)-\sin{2(2\pi-\theta)}\\ &=-2\sin\theta+\sin 2\theta\\ &=-y(\theta) \end{aligned}

$$

となる。

したがって、曲線 $C$ 上の点 $(x(\theta),y(\theta))$ に対し、$(x(\theta),-y(\theta))$ も同じく曲線 $C$ 上にある。ゆえに、曲線 $C$ は $x$ 軸に関して対称である。

（3） 曲線 $C$ と円 $S_1$ によって囲まれた部分の面積を求める。

まず、曲線 $C$ が円 $S_1$ の外側にあることを確かめる。

$$ \begin{aligned} x(\theta)^2+y(\theta)^2 &=(2\cos\theta-\cos 2\theta)^2+(2\sin\theta-\sin 2\theta)^2\\ &=5-4\cos\theta \end{aligned}

$$

であるから、

$$ x(\theta)^2+y(\theta)^2 \ge 1

$$

が成り立つ。等号は $\cos\theta=1$、すなわち $\theta=0,2\pi$ のときのみ成り立つ。したがって、曲線 $C$ は点 $(1,0)$ で円 $S_1$ に接し、それ以外では円 $S_1$ の外側にある。

よって、求める面積は「曲線 $C$ の内部の面積」から「円 $S_1$ の面積 $\pi$」を引けばよい。

曲線 $C$ の内部の面積を $S_C$ とすると、

$$ S_C=\frac12\int_0^{2\pi}\left(x(\theta)y'(\theta)-y(\theta)x'(\theta)\right),d\theta

$$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} x'(\theta)&=-2\sin\theta+2\sin 2\theta,\\ y'(\theta)&=2\cos\theta-2\cos 2\theta \end{aligned}

$$

より、

$$ x(\theta)y'(\theta)-y(\theta)x'(\theta)=6-6\cos\theta

$$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} S_C &=\frac12\int_0^{2\pi}(6-6\cos\theta),d\theta\\ &=3\int_0^{2\pi}(1-\cos\theta),d\theta\\ &=3\cdot 2\pi\\ &=6\pi \end{aligned}

$$

である。

したがって、求める面積は

$$ 6\pi-\pi=5\pi

$$

である。

解説

この問題の本質は、点 $A$ の公転と円 $S_2$ の自転を分けて考えることである。半径がどちらも $1$ なので、$OA$ が $\theta$ だけ回ると、円 $S_2$ の自転角も $\theta$ となり、結果として $\overrightarrow{AP}$ は $2\theta$ 回転する。ここを正しく捉えれば （1） はすぐに求まる。

（2） は媒介変数の置換 $\theta \mapsto 2\pi-\theta$ が典型である。媒介変数表示された曲線の対称性は、この方法で処理するのが基本である。

（3） では極方程式に直しにくいので、面積公式

$$ \frac12\int (x,dy-y,dx)

$$

を使うのが自然である。また、先に $x^2+y^2\ge 1$ を示して、曲線 $C$ が円 $S_1$ の外側にあることを確認しておくと、どの部分の面積を求めるべきかが明確になる。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} x(\theta)&=2\cos\theta-\cos 2\theta,\\ y(\theta)&=2\sin\theta-\sin 2\theta \end{aligned} \qquad (0\le \theta\le 2\pi)

$$

**(2)**

$$ x(2\pi-\theta)=x(\theta),\qquad y(2\pi-\theta)=-y(\theta)

$$

より、曲線 $C$ は $x$ 軸に関して対称である。

**(3)**

曲線 $C$ と円 $S_1$ によって囲まれた部分の面積は

$$ 5\pi

$$

である。