解説

方針・初手

$f(x)$ の極値は微分して増減を調べる。

面積は、まず $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の交点を求め、どちらが上側にあるかを判定してから定積分で求める。

解法1

まず、定義域は $x>0$ である。

$f(x)$ を微分する。

$$ f(x)=\frac{\log x}{x^2}=(\log x)x^{-2}

$$

より、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\frac{1}{x}x^{-2}+(\log x)(-2x^{-3})\\ &=\frac{1-2\log x}{x^3} \end{aligned}

$$

ここで $x>0$ だから $x^3>0$ である。したがって、$f'(x)$ の符号は $1-2\log x$ の符号で決まる。

$$ 1-2\log x=0

$$

より、

$$ \log x=\frac{1}{2}

$$

したがって、

$$ x=\sqrt{e}

$$

である。

$x<\sqrt{e}$ のとき $1-2\log x>0$、$x>\sqrt{e}$ のとき $1-2\log x<0$ であるから、$f(x)$ は $x=\sqrt{e}$ で極大となる。

極大値は

$$ f(\sqrt{e})=\frac{\log \sqrt{e}}{(\sqrt{e})^2} =\frac{\frac{1}{2}}{e} =\frac{1}{2e}

$$

である。

したがって、$f(x)$ は $x=\sqrt{e}$ で極大値 $\dfrac{1}{2e}$ をとり、極小値はない。

次に、2つの曲線の交点を求める。

$$ \frac{\log x}{x^2}=\frac{1}{4}\log x

$$

より、

$$ \log x\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{4}\right)=0

$$

である。

したがって、

$$ \log x=0

$$

または

$$ \frac{1}{x^2}=\frac{1}{4}

$$

である。

$x>0$ より、それぞれ

$$ x=1,\quad x=2

$$

を得る。

よって、交点は $x=1,2$ に対応する2点である。

$1<x<2$ では $\log x>0$ かつ

$$ \frac{1}{x^2}>\frac{1}{4}

$$

であるから、

$$ \frac{\log x}{x^2}>\frac{1}{4}\log x

$$

すなわち $f(x)>g(x)$ である。

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_1^2\left(\frac{\log x}{x^2}-\frac{1}{4}\log x\right),dx

$$

である。

まず、

$$ \int \frac{\log x}{x^2},dx

$$

を部分積分で求める。$u=\log x,\ dv=x^{-2}dx$ とすると、$du=\dfrac{1}{x}dx,\ v=-x^{-1}$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int \frac{\log x}{x^2},dx &=-\frac{\log x}{x}+\int \frac{1}{x^2},dx\\ &=-\frac{\log x}{x}-\frac{1}{x}\\ &=-\frac{\log x+1}{x} \end{aligned}

$$

また、

$$ \int \log x,dx=x\log x-x

$$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} S &=\left[-\frac{\log x+1}{x}-\frac{1}{4}(x\log x-x)\right]_1^2 \end{aligned}

$$

上端 $x=2$ では、

$$ -\frac{\log 2+1}{2}-\frac{1}{4}(2\log 2-2) =-\log 2

$$

下端 $x=1$ では、

$$ -\frac{0+1}{1}-\frac{1}{4}(0-1) =-1+\frac{1}{4} =-\frac{3}{4}

$$

したがって、

$$ S=-\log 2-\left(-\frac{3}{4}\right) =\frac{3}{4}-\log 2

$$

である。

解説

$f(x)$ の極値では、$\log x$ を含む関数であっても、積の微分として処理すればよい。分母 $x^3$ は定義域 $x>0$ で常に正なので、符号判定は分子 $1-2\log x$ だけを見ればよい。

面積では、交点を求めたあと、どちらの曲線が上にあるかを確認することが重要である。今回は $1<x<2$ において $\log x>0$ かつ $\dfrac{1}{x^2}>\dfrac{1}{4}$ であるため、$f(x)>g(x)$ と判断できる。

答え

**(1)**

$f(x)$ は

$$ x=\sqrt{e}

$$

で極大値

$$ \frac{1}{2e}

$$

をとる。極小値はない。

**(2)**

求める面積は

$$ \frac{3}{4}-\log 2

$$

である。