解説

方針・初手

(1) は $\sqrt{3}\cos x-\sin x$ を合成して、余弦の符号判定に帰着する。

(2) はまず分母の符号を確認する。積分区間 $-\dfrac{\pi}{6}\leq x\leq \dfrac{\pi}{6}$ では分母が正であるため、絶対値は分子 $\sin x$ の符号だけで外せる。

解法1

まず

$$ \sqrt{3}\cos x-\sin x =2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)

$$

である。

(1)

不等式

$$ \sqrt{3}\cos x-\sin x>0

$$

は

$$ 2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)>0

$$

と同値である。したがって

$$ \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)>0

$$

を解けばよい。

$-\pi\leq x\leq \pi$ より

$$ -\frac{5\pi}{6}\leq x+\frac{\pi}{6}\leq \frac{7\pi}{6}

$$

である。この範囲で余弦が正となるのは

$$ -\frac{\pi}{2}<x+\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2}

$$

である。

よって

$$ -\frac{2\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}

$$

を得る。

したがって、求める範囲は

$$ -\frac{2\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}

$$

である。

(2)

積分区間

$$ -\frac{\pi}{6}\leq x\leq \frac{\pi}{6}

$$

は、(1) で得た

$$ -\frac{2\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}

$$

に含まれる。したがって、この区間では

$$ \sqrt{3}\cos x-\sin x>0

$$

である。

よって絶対値は $\sin x$ の符号だけを見ればよい。$\sin x$ は $x<0$ で負、$x>0$ で正であるから、

$$ \begin{aligned} \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \left| \frac{4\sin x}{\sqrt{3}\cos x-\sin x} \right|,dx &= \int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} \frac{-4\sin x}{\sqrt{3}\cos x-\sin x},dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{4\sin x}{\sqrt{3}\cos x-\sin x},dx \end{aligned}

$$

となる。

ここで

$$ u=x+\frac{\pi}{6}

$$

とおくと、

$$ \sqrt{3}\cos x-\sin x=2\cos u

$$

であり、また

$$ \sin x=\sin\left(u-\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\sqrt{3}}{2}\sin u-\frac{1}{2}\cos u

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \frac{4\sin x}{\sqrt{3}\cos x-\sin x} &= \frac{4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin u-\frac{1}{2}\cos u\right)}{2\cos u} \\ \sqrt{3}\tan u-1 \end{aligned} $$

となる。

まず $-\dfrac{\pi}{6}\leq x\leq 0$ の部分を計算する。このとき $0\leq u\leq \dfrac{\pi}{6}$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} \frac{-4\sin x}{\sqrt{3}\cos x-\sin x},dx &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \left(1-\sqrt{3}\tan u\right),du \\ &= \left[u+\sqrt{3}\log(\cos u)\right]_0^{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{\pi}{6}+\sqrt{3}\log\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

$$

である。

次に $0\leq x\leq \dfrac{\pi}{6}$ の部分を計算する。このとき $\dfrac{\pi}{6}\leq u\leq \dfrac{\pi}{3}$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{4\sin x}{\sqrt{3}\cos x-\sin x},dx &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left(\sqrt{3}\tan u-1\right),du \\ &= \left[-\sqrt{3}\log(\cos u)-u\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \sqrt{3}\log\sqrt{3}-\frac{\pi}{6} \end{aligned}

$$

である。

よって、求める積分値は

$$ \begin{aligned} \frac{\pi}{6}+\sqrt{3}\log\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}\log\sqrt{3}-\frac{\pi}{6} &= \sqrt{3}\log\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}\right) \\ &= \sqrt{3}\log\frac{3}{2} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の中心は、$\sqrt{3}\cos x-\sin x$ を

$$ 2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)

$$

と合成できるかどうかである。

(2) では、絶対値を外す前に分母の符号を確認する必要がある。分母が積分区間全体で正であることは、(1) の結果からすぐ分かる。したがって、絶対値の処理は $\sin x$ の符号変化、すなわち $x=0$ で区間を分けるだけでよい。

答え

**(1)**

$$ -\frac{2\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}

$$

**(2)**

$$ \sqrt{3}\log\frac{3}{2}

$$