基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題148 解説
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解説
方針・初手
まず
$$ f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}
$$
をそのまま積分できることを用いて （1） を求める。
次に導関数を計算すると
$$ f'(x)=f(x)-{f(x)}^2
$$
という関係が得られるので、これを用いて （2） を処理し、さらに （3）、（4） の被積分関数を簡単な形に直して計算する。
解法1
**(1)**
$$ \int \frac{e^x}{1+e^x},dx=\log(1+e^x)+C
$$
であるから、
$$ \int_0^{\log 7} f(x),dx =\left[\log(1+e^x)\right]_0^{\log 7} =\log(1+7)-\log(1+1) =\log 8-\log 2 =\log 4
$$
となる。
**(2)**
$f(x)$ を微分すると、
$$ f'(x) =\frac{e^x(1+e^x)-e^x\cdot e^x}{(1+e^x)^2} =\frac{e^x}{(1+e^x)^2}
$$
である。
一方、
$$ f(x)-{f(x)}^2 =\frac{e^x}{1+e^x}-\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right)^2 =\frac{e^x(1+e^x)-e^{2x}}{(1+e^x)^2} =\frac{e^x}{(1+e^x)^2}
$$
より、
$$ f'(x)=f(x)-{f(x)}^2
$$
が成り立つ。したがって、
$$ a=1,\qquad b=-1
$$
である。
**(3)**
（2） の結果より
$$ f'(x)=f(x)-{f(x)}^2
$$
だから、
$$ {f(x)}^2=f(x)-f'(x)
$$
である。よって、
$$ \int_0^{\log 7}{f(x)}^2,dx =\int_0^{\log 7}f(x),dx-\int_0^{\log 7}f'(x),dx
$$
となる。
まず （1） より
$$ \int_0^{\log 7}f(x),dx=\log 4
$$
であり、また
$$ f(\log 7)=\frac{7}{8},\qquad f(0)=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$ \int_0^{\log 7}f'(x),dx =f(\log 7)-f(0) =\frac{7}{8}-\frac{1}{2} =\frac{3}{8}
$$
である。したがって、
$$ \int_0^{\log 7}{f(x)}^2,dx =\log 4-\frac{3}{8}
$$
となる。
**(4)**
（2） の関係式に $f(x)$ をかけると、
$$ f(x)^3=f(x)^2-f(x)f'(x)
$$
であるから、
$$ \int_0^{\log 7}f(x)^3,dx =\int_0^{\log 7}f(x)^2,dx-\int_0^{\log 7}f(x)f'(x),dx
$$
となる。
ここで （3） より
$$ \int_0^{\log 7}f(x)^2,dx=\log 4-\frac{3}{8}
$$
であり、また
$$ \int_0^{\log 7}f(x)f'(x),dx =\left[\frac{1}{2}f(x)^2\right]_0^{\log 7} =\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{7}{8}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right\}
$$
である。これを計算すると、
$$ \frac{1}{2}\left(\frac{49}{64}-\frac{1}{4}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{49}{64}-\frac{16}{64}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{33}{64} =\frac{33}{128}
$$
となる。したがって、
$$ \int_0^{\log 7}f(x)^3,dx =\left(\log 4-\frac{3}{8}\right)-\frac{33}{128} =\log 4-\frac{48}{128}-\frac{33}{128} =\log 4-\frac{81}{128}
$$
である。
解説
この問題の要点は、まず
$$ f'(x)=f(x)-f(x)^2
$$
という関係を見抜くことである。これが分かると、$f(x)^2$ や $f(x)^3$ の積分をそのまま計算する必要がなくなり、既に求めた $\int f(x),dx$ や端点での $f(x)$ の値に帰着できる。
特に （3） は $f(x)^2=f(x)-f'(x)$、（4） は $f(x)^3=f(x)^2-f(x)f'(x)$ と直すのが自然である。こうした「導関数との関係を利用して次数を下げる」処理は典型である。
答え
**(1)**
$$ \int_0^{\log 7} f(x),dx=\log 4
$$
**(2)**
$$ a=1,\qquad b=-1
$$
**(3)**
$$ \int_0^{\log 7}{f(x)}^2,dx=\log 4-\frac{3}{8}
$$
**(4)**
$$ \int_0^{\log 7}{f(x)}^3,dx=\log 4-\frac{81}{128}
$$