解説

方針・初手

$f_{n+1}(x)$ は $f_n(x)$ を微分して得られるので、$f_n(x)$ が「2次式 $\times e^x$」の形を保つことに注目する。

(2)では $e^x>0$ であるから、$f_n(x)$ の符号は前の2次式の符号だけで決まる。よって、まず2次式の根を求め、その間で $f_n(x)\leqq 0$ となることを使って面積を定積分で表す。

解法1

まず

$$ f_n(x)=(x^2+a_nx+b_n)e^x

$$

と表せると仮定する。このとき

$$ \begin{aligned} f_{n+1}(x) &=\frac{d}{dx}{(x^2+a_nx+b_n)e^x}\\ &={2x+a_n+x^2+a_nx+b_n}e^x\\ &={x^2+(a_n+2)x+(b_n+a_n)}e^x \end{aligned}

$$

である。

したがって係数を比較すると、

$$ a_{n+1}=a_n+2,\qquad b_{n+1}=b_n+a_n

$$

を得る。初期条件は

$$ f_0(x)=x^2e^x

$$

より

$$ a_0=0,\qquad b_0=0

$$

である。

よって

$$ a_n=2n

$$

である。また

$$ b_n=b_0+\sum_{k=0}^{n-1}a_k =\sum_{k=0}^{n-1}2k =n(n-1)

$$

となる。

したがって

$$ f_n(x)={x^2+2nx+n(n-1)}e^x

$$

である。

次に $n\geqq 1$ とする。$e^x>0$ より、$f_n(x)\leqq 0$ となる範囲は

$$ x^2+2nx+n(n-1)\leqq 0

$$

で決まる。

この2次式は

$$ x^2+2nx+n(n-1)=(x+n)^2-n

$$

と変形できるので、根は

$$ x=-n-\sqrt n,\qquad x=-n+\sqrt n

$$

である。

よって $f_n(x)\leqq 0$ となるのは

$$ -n-\sqrt n\leqq x\leqq -n+\sqrt n

$$

である。

求める面積 $S_n$ は、曲線が $x$ 軸の下側にある部分と $x$ 軸で囲まれる面積であるから、

$$ S_n=-\int_{-n-\sqrt n}^{-n+\sqrt n}f_n(x),dx

$$

である。

ここで

$$ f_n(x)=\frac{d}{dx}f_{n-1}(x)

$$

なので、

$$ S_n=-\left[f_{n-1}(x)\right]_{-n-\sqrt n}^{-n+\sqrt n}

$$

となる。

すなわち

$$ S_n=f_{n-1}(-n-\sqrt n)-f_{n-1}(-n+\sqrt n)

$$

である。

ここで

$$ f_{n-1}(x)={x^2+2(n-1)x+(n-1)(n-2)}e^x

$$

である。$x=-n+t$ とおくと、$t=\pm \sqrt n$ のとき

$$ \begin{aligned} x^2+2(n-1)x+(n-1)(n-2) &=(-n+t)^2+2(n-1)(-n+t)+(n-1)(n-2)\\ &=t^2-2t+2-n \end{aligned}

$$

となる。

したがって、$t=-\sqrt n$ のとき

$$ t^2-2t+2-n =n+2\sqrt n+2-n =2+2\sqrt n

$$

であり、$t=\sqrt n$ のとき

$$ t^2-2t+2-n =n-2\sqrt n+2-n =2-2\sqrt n

$$

である。

よって

$$ f_{n-1}(-n-\sqrt n)=2(1+\sqrt n)e^{-n-\sqrt n}

$$

かつ

$$ f_{n-1}(-n+\sqrt n)=2(1-\sqrt n)e^{-n+\sqrt n}

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} S_n &=2(1+\sqrt n)e^{-n-\sqrt n}-2(1-\sqrt n)e^{-n+\sqrt n}\\ &=2e^{-n}{(1+\sqrt n)e^{-\sqrt n}+(\sqrt n-1)e^{\sqrt n}} \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題の中心は、微分しても「2次式 $\times e^x$」という形が保たれる点である。$e^x$ を含む関数を微分すると、積の微分により「多項式の微分」と「元の多項式」が足されるため、係数の漸化式が自然に現れる。

(2)では、$e^x$ が常に正であることを使い、符号判定を2次式だけに帰着するのが重要である。また、面積計算では $f_n$ を直接積分するよりも、$f_n=f_{n-1}'$ を使う方が簡潔である。

答え

**(1)**

$$ f_n(x)={x^2+2nx+n(n-1)}e^x

$$

したがって

$$ a_n=2n,\qquad b_n=n(n-1)

$$

である。

**(2)**

$$ S_n=2e^{-n}{(1+\sqrt n)e^{-\sqrt n}+(\sqrt n-1)e^{\sqrt n}}

$$