解説

方針・初手

$f(x)=x\sqrt{1-x^2}$ は平方根を含むが、$0\leqq x\leqq 1$ では $f(x)\geqq 0$ である。最大値は $f(x)^2$ を考えると処理しやすい。

直線 $l:y=ax$ との共有点は

$$ x\sqrt{1-x^2}=ax

$$

を解けばよい。ただし $x=0$ が解になるため、$x$ で割る前に場合分けする必要がある。

解法1

まず最大値を求める。$0\leqq x\leqq 1$ において $f(x)\geqq 0$ であるから、$f(x)$ の最大値は $f(x)^2$ の最大値から求められる。

$$ f(x)^2=x^2(1-x^2)

$$

ここで $t=x^2$ とおくと、$0\leqq t\leqq 1$ であり、

$$ f(x)^2=t(1-t)

$$

となる。平方完成すると、

$$ t(1-t)=-\left(t-\frac12\right)^2+\frac14

$$

であるから、最大値は $t=\dfrac12$ のとき

$$ f(x)^2=\frac14

$$

となる。$f(x)\geqq 0$ より、

$$ f(x)=\frac12

$$

である。したがって、$f(x)$ の極大値は

$$ \frac12

$$

である。

次に、曲線 $C$ と直線 $l$ の共有点を求める。共有点では

$$ x\sqrt{1-x^2}=ax

$$

が成り立つ。

**(i)**

$x=0$ のとき

$$ 0=0

$$

となるので、$x=0$ は共有点の $x$ 座標である。

**(ii)**

$x>0$ のとき

両辺を $x$ で割ることができるので、

$$ \sqrt{1-x^2}=a

$$

となる。$0<a<1$ より両辺は非負であるから、両辺を平方して

$$ 1-x^2=a^2

$$

すなわち

$$ x^2=1-a^2

$$

である。$x>0$ より、

$$ x=\sqrt{1-a^2}

$$

となる。

したがって、共有点の $x$ 座標は

$$ 0,\ \sqrt{1-a^2}

$$

である。

最後に、囲まれる部分の面積 $S$ を求める。$0<x<\sqrt{1-a^2}$ では

$$ 1-x^2>a^2

$$

であるから、

$$ \sqrt{1-x^2}>a

$$

となる。したがって、

$$ x\sqrt{1-x^2}>ax

$$

であり、この区間では曲線 $C$ が直線 $l$ より上にある。

よって、求める面積は

$$ S=\int_0^{\sqrt{1-a^2}}\left(x\sqrt{1-x^2}-ax\right),dx

$$

である。

まず、

$$ \int x\sqrt{1-x^2},dx

$$

を計算する。$u=1-x^2$ とおくと、$du=-2x,dx$ であるから、

$$ \int x\sqrt{1-x^2},dx=-\frac13(1-x^2)^{3/2}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} S &=\left[-\frac13(1-x^2)^{3/2}-\frac a2x^2\right]_0^{\sqrt{1-a^2}}\\ &=\left\{-\frac13a^3-\frac a2(1-a^2)\right\}-\left(-\frac13\right)\\ &=\frac{1-a^3}{3}-\frac{a(1-a^2)}{2}\\ &=\frac{2-2a^3-3a+3a^3}{6}\\ &=\frac{a^3-3a+2}{6}. \end{aligned}

$$

また、

$$ a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2)

$$

であるから、

$$ S=\frac{(1-a)^2(a+2)}{6}

$$

とも表せる。

解説

この問題では、$x=0$ が共有点になるため、共有点を求める際にいきなり $x$ で割ってはいけない。$x=0$ と $x>0$ に分けることが重要である。

面積計算では、交点の間でどちらのグラフが上にあるかを確認する必要がある。今回は $0<x<\sqrt{1-a^2}$ において $\sqrt{1-x^2}>a$ となるため、曲線 $C$ が直線 $l$ より上にある。

積分

$$ \int x\sqrt{1-x^2},dx

$$

は、$1-x^2$ をひとまとまりとして置換する典型的な形である。

答え

**(1)**

$$ \frac12

$$

**(2)**

$$ 0,\ \sqrt{1-a^2}

$$

**(3)**

$$ S=\frac{a^3-3a+2}{6}

$$

すなわち

$$ S=\frac{(1-a)^2(a+2)}{6}

$$