解説

方針・初手

与えられた2つの微分公式をそのまま使って、$\sqrt{4x^2+1}$ を「微分の形」と「$\dfrac{1}{\sqrt{4x^2+1}}$ の形」に分解するのが基本方針である。

特に $\dfrac{d}{dx}\log(2x+\sqrt{4x^2+1})$ が $\dfrac{1}{\sqrt{4x^2+1}}$ になることを使うと、積分が端点評価に落ちる。

解法1

まず

$$ \frac{d}{dx}\log(2x+\sqrt{4x^2+1})

$$

を計算する。

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\log(2x+\sqrt{4x^2+1}) &= \frac{1}{2x+\sqrt{4x^2+1}} \left(2+\frac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}\right) \\ &= \frac{2\sqrt{4x^2+1}+4x}{(2x+\sqrt{4x^2+1})\sqrt{4x^2+1}} \\ &= \frac{2(2x+\sqrt{4x^2+1})}{(2x+\sqrt{4x^2+1})\sqrt{4x^2+1}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{4x^2+1}}. \end{aligned}

$$

したがって、**[ア]** は

$$ 1

$$

である。

次に

$$ \frac{d}{dx}\left(x\sqrt{4x^2+1}\right)

$$

を計算する。

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(x\sqrt{4x^2+1}\right) &= \sqrt{4x^2+1} +x\cdot \frac{4x}{\sqrt{4x^2+1}} \\ &= \frac{4x^2+1+4x^2}{\sqrt{4x^2+1}} \\ &= \frac{8x^2+1}{\sqrt{4x^2+1}}. \end{aligned}

$$

一方、

$$ \begin{aligned} 2\sqrt{4x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{4x^2+1}} &= \frac{2(4x^2+1)-1}{\sqrt{4x^2+1}} \\ \frac{8x^2+1}{\sqrt{4x^2+1}} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(x\sqrt{4x^2+1}\right) &= 2\sqrt{4x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{4x^2+1}}. \end{aligned} $$

よって、**[イ]** は

$$ 1

$$

である。

ここから

$$ \begin{aligned} 2\sqrt{4x^2+1} &= \frac{d}{dx}\left(x\sqrt{4x^2+1}\right) + \frac{1}{\sqrt{4x^2+1}} \end{aligned} $$

となるので、

$$ \begin{aligned} \sqrt{4x^2+1} &= \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{4x^2+1}\right) + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{4x^2+1}} \end{aligned} $$

を得る。

したがって

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \sqrt{4x^2+1},dx &= \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{d}{dx}\left(x\sqrt{4x^2+1}\right),dx + \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{4x^2+1}} \\ &= \frac{1}{2}\left[x\sqrt{4x^2+1}\right]_0^1 + \frac{1}{2}\left[\log(2x+\sqrt{4x^2+1})\right]_0^1. \end{aligned}

$$

それぞれ計算すると、

$$ \begin{aligned} \left[x\sqrt{4x^2+1}\right]_0^1=\sqrt{5}, \qquad \left[\log(2x+\sqrt{4x^2+1})\right]_0^1 &= \log(2+\sqrt{5})-\log 1 \\ \log(2+\sqrt{5}). \end{aligned} $$

ゆえに

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \sqrt{4x^2+1},dx &= \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\log(2+\sqrt{5}) &= \frac{\sqrt{5}+\log(2+\sqrt{5})}{2}. \end{aligned} $$

したがって、**[ウ]** は

$$ \frac{\sqrt{5}+\log(2+\sqrt{5})}{2}

$$

である。

解説

この問題の要点は、$\sqrt{4x^2+1}$ を直接積分しようとせず、与えられた微分公式を利用して積分しやすい形に直すことである。

特に $\dfrac{d}{dx}\log(2x+\sqrt{4x^2+1})=\dfrac{1}{\sqrt{4x^2+1}}$ という形は頻出であり、$\sqrt{a^2x^2+1}$ 型の積分で有効である。

また、 $x\sqrt{4x^2+1}$ の微分結果を $2\sqrt{4x^2+1}-\dfrac{1}{\sqrt{4x^2+1}}$ と見直すことで、目的の被積分関数を作るのがこの問題の核心である。

答え

$$ \text{[ア]}=1,\qquad \text{[イ]}=1,\qquad \text{[ウ]}=\frac{\sqrt{5}+\log(2+\sqrt{5})}{2}

$$