解説

方針・初手

関係式の右辺を見ると、$x$ を含むのは $e^{2x}$ の部分だけであり、残りは $y$ についての定積分なので定数である。したがって $f(x)$ は

$$ f(x)=Ae^{2x}+B

$$

という形になる。まず右辺の既知の定積分を計算し、その後 $A,B$ に関する連立方程式を立てればよい。

解法1

まず

$$ \int_0^{1/2}\sin^2(\pi y),dy =\int_0^{1/2}\frac{1-\cos(2\pi y)}{2},dy =\frac12\cdot\frac12 =\frac14

$$

である。よって

$$ [エ]=\frac14

$$

である。

次に

$$ f(y)=Ae^{2y}+B

$$

とおく。

すると

$$ \int_0^1 e^{-y}f(y),dy =\int_0^1 e^{-y}(Ae^{2y}+B),dy =\int_0^1 (Ae^y+Be^{-y}),dy

$$

より

$$ \int_0^1 e^{-y}f(y),dy =A\int_0^1 e^y,dy+B\int_0^1 e^{-y},dy =(e-1)A+\frac{e-1}{e}B

$$

となる。したがって

$$ [オ]=e-1,\qquad [カ]=\frac{e-1}{e}

$$

である。

また

$$ \int_0^{1/2} f(y),dy =\int_0^{1/2}(Ae^{2y}+B),dy =A\int_0^{1/2}e^{2y},dy+B\int_0^{1/2}1,dy

$$

だから

$$ \int_0^{1/2} f(y),dy =A\cdot\frac{e-1}{2}+B\cdot\frac12

$$

となる。よって

$$ [キ]=\frac{e-1}{2},\qquad [ク]=\frac12

$$

である。

以上を関係式

$$ f(x)=\frac{e^{2x}}{2(e-1)}\int_0^1 e^{-y}f(y),dy+\int_0^{1/2}f(y),dy+\int_0^{1/2}\sin^2(\pi y),dy

$$

に代入すると、

$$ Ae^{2x}+B =\frac{e^{2x}}{2(e-1)}\left((e-1)A+\frac{e-1}{e}B\right) +\left(\frac{e-1}{2}A+\frac12 B\right) +\frac14

$$

すなわち

$$ Ae^{2x}+B =e^{2x}\left(\frac12A+\frac{1}{2e}B\right) +\left(\frac{e-1}{2}A+\frac12B+\frac14\right)

$$

である。恒等式であるから、$e^{2x}$ の係数と定数項を比較して

$$ A=\frac12A+\frac{1}{2e}B, \qquad B=\frac{e-1}{2}A+\frac12B+\frac14

$$

を得る。

前式から

$$ A=\frac{B}{e}

$$

であり、これを後式に代入すると

$$ B=(e-1)\frac{B}{e}+\frac12

$$

となるので、

$$ \frac{B}{e}=\frac12

$$

より

$$ B=\frac e2

$$

である。したがって

$$ A=\frac{B}{e}=\frac12

$$

となる。

よって

$$ [ケ]=\frac12,\qquad [コ]=\frac e2

$$

であり、

$$ f(x)=\frac12e^{2x}+\frac e2

$$

である。

解説

この問題の要点は、右辺のうち $x$ を含むのが $e^{2x}$ のみであることに注目し、$f(x)$ の形を先に

$$ f(x)=Ae^{2x}+B

$$

と見抜くことである。すると未知関数の問題が、未知定数 $A,B$ を求める問題に変わる。

また、定積分はすべて基本計算で処理できるので、最後は係数比較で確定する。

答え

$$ [エ]=\frac14,\quad [オ]=e-1,\quad [カ]=\frac{e-1}{e},\quad [キ]=\frac{e-1}{2},\quad [ク]=\frac12,\quad [ケ]=\frac12,\quad [コ]=\frac e2

$$

したがって

$$ f(x)=\frac12e^{2x}+\frac e2

$$

である。