解説

方針・初手

$S$ は $y=\sin x$ と $x$ 軸で囲まれる面積なので、まず定積分で求める。

$T$ は、$0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ において $y=\sin x$ と $y=a\cos x$ の交点で領域が分かれる。したがって、交点の $x$ 座標を $\alpha$ とおき、$0\leqq x\leqq \alpha$ では $y=\sin x$、$\alpha\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $y=a\cos x$ を上側の境界として面積を求める。

解法1

まず、$S$ は

$$ S=\int_0^\pi \sin x,dx

$$

であるから、

$$ S=\left[-\cos x\right]_0^\pi=2

$$

である。

次に、$T$ を求める。$y=\sin x$ と $y=a\cos x$ の交点の $x$ 座標を $\alpha$ とすると、

$$ \sin \alpha=a\cos \alpha

$$

より、

$$ \tan \alpha=a

$$

である。ただし $a>0$ なので、

$$ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}

$$

である。

$0\leqq x\leqq \alpha$ では $\sin x\leqq a\cos x$、$\alpha\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $a\cos x\leqq \sin x$ となる。したがって、$T$ は

$$ T=\int_0^\alpha \sin x,dx+\int_\alpha^{\frac{\pi}{2}}a\cos x,dx

$$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} T &=\left[-\cos x\right]*0^\alpha+a\left[\sin x\right]*\alpha^{\frac{\pi}{2}}\\ &=1-\cos\alpha+a(1-\sin\alpha) \end{aligned}

$$

となる。

ここで $\tan\alpha=a$ より、

$$ \sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}},\qquad \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}

$$

である。よって、

$$ \begin{aligned} T &=1-\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} +a\left(1-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\right)\\ &=1+a-\frac{1+a^2}{\sqrt{1+a^2}}\\ &=1+a-\sqrt{1+a^2} \end{aligned}

$$

である。

条件 $S:T=3:1$ より、

$$ T=\frac{S}{3}=\frac{2}{3}

$$

である。したがって、

$$ 1+a-\sqrt{1+a^2}=\frac{2}{3}

$$

となる。

これを整理すると、

$$ a+\frac{1}{3}=\sqrt{1+a^2}

$$

である。両辺は正なので、平方してよい。よって、

$$ \left(a+\frac{1}{3}\right)^2=1+a^2

$$

より、

$$ a^2+\frac{2}{3}a+\frac{1}{9}=1+a^2

$$

となる。したがって、

$$ \frac{2}{3}a=\frac{8}{9}

$$

より、

$$ a=\frac{4}{3}

$$

を得る。

解説

この問題では、$T$ の領域を正しく把握することが重要である。

$y=\sin x$ と $y=a\cos x$ は $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ の中でただ1回交わる。その交点より左では $y=\sin x$ が下側、右では $y=a\cos x$ が下側になる。そのため、$T$ は単に2つの曲線の差の積分ではなく、$x$ 軸から見た上側の境界を分けて積分する必要がある。

計算上は、交点を $\alpha$ とおき、$\tan\alpha=a$ から $\sin\alpha,\cos\alpha$ を $a$ で表すのが自然である。

答え

$$ \boxed{a=\frac{4}{3}}

$$