解説

方針・初手

$F(x)=\displaystyle\int_{x-\pi}^{x}f(t),dt$ は積分区間の両端が $x$ に依存するので、まず微分して $F'(x)$ を求める。

すると、与えられた関係

$$ f(x)-f(x-\pi)=e^{2x}\sin x \qquad (x\geqq 0)

$$

がそのまま使える形になる。

また、$F(0)$ は積分区間が $[-\pi,0]$ となり、この範囲では $f(t)=0$ であることから直ちに求まる。

解法1

（1） $F'(x)$ を求める

微分積分学の基本公式より、

$$ F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{x-\pi}^{x}f(t),dt=f(x)-f(x-\pi)

$$

である。

したがって、

$$ F'(x)=f(x)-f(x-\pi)

$$

特に $x\geqq 0$ では条件より

$$ F'(x)=e^{2x}\sin x

$$

となる。

（2） $F(0)$ を求める

定義より、

$$ F(0)=\int_{-\pi}^{0}f(t),dt

$$

ここで、$-\pi\leqq t\leqq 0$ では $t\leqq 0$ であるから、条件 $f(t)=0$ より

$$ F(0)=\int_{-\pi}^{0}0,dt=0

$$

（3） $x\geqq 0$ に対して $F(x)$ を求める

（1） より、$x\geqq 0$ では

$$ F'(x)=e^{2x}\sin x

$$

であるから、

$$ F(x)=\int e^{2x}\sin x,dx + C

$$

を求めればよい。

$$ \int e^{2x}\sin x,dx=\frac{1}{5}e^{2x}(2\sin x-\cos x)+C

$$

したがって、

$$ F(x)=\frac{1}{5}e^{2x}(2\sin x-\cos x)+C

$$

ここで （2） の結果 $F(0)=0$ を用いると、

$$ 0=\frac{1}{5}e^0(2\sin 0-\cos 0)+C =\frac{1}{5}(0-1)+C =-\frac{1}{5}+C

$$

より

$$ C=\frac{1}{5}

$$

したがって、$x\geqq 0$ に対して

$$ F(x)=\frac{1}{5}e^{2x}(2\sin x-\cos x)+\frac{1}{5}

$$

すなわち

$$ F(x)=\frac{e^{2x}(2\sin x-\cos x)+1}{5}

$$

解説

この問題の要点は、$F(x)$ を直接計算しようとするのではなく、まず微分して

$$ F'(x)=f(x)-f(x-\pi)

$$

の形を作ることである。

すると、問題文で与えられている関係式がそのまま使え、$F'(x)$ が具体的に定まる。あとは初期値 $F(0)$ を用いて積分定数を決めればよい。

積分区間が動く形の

$$ \int_{a(x)}^{b(x)}f(t),dt

$$

では、

$$ \frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t),dt=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)

$$

を使う発想が典型である。

答え

**(1)**

$$ F'(x)=f(x)-f(x-\pi)

$$

特に $x\geqq 0$ では

$$ F'(x)=e^{2x}\sin x

$$

**(2)**

$$ F(0)=0

$$

**(3)**

$x\geqq 0$ に対して

$$ F(x)=\frac{e^{2x}(2\sin x-\cos x)+1}{5}

$$