解説

方針・初手

分母・分子ともに $n$ 個の項の和であり、各項の大きさはおおよそ $n^\alpha$ である。したがって、全体を $n^{\alpha+1}$ で割るとリーマン和の形に持ち込める。

分母は

$$ \begin{aligned} \frac{1^\alpha+2^\alpha+\cdots+n^\alpha}{n^{\alpha+1}} &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^\alpha \end{aligned} $$

となり、分子も同様に処理できる。

解法1

求める極限を

$$ b=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n (n+k)^\alpha}{\sum_{k=1}^n k^\alpha}

$$

とおく。

まず分子を $n^{\alpha+1}$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \frac{(n+1)^\alpha+(n+2)^\alpha+\cdots+(n+n)^\alpha}{n^{\alpha+1}} &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{n}\right)^\alpha \end{aligned} $$

である。

同様に、分母は

$$ \begin{aligned} \frac{1^\alpha+2^\alpha+\cdots+n^\alpha}{n^{\alpha+1}} &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^\alpha \end{aligned} $$

である。

ここで $\alpha>0$ なので、$x^\alpha$ および $(1+x)^\alpha$ は $[0,1]$ 上で連続である。よってリーマン和の極限より、

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{n}\right)^\alpha \to \int_0^1 (1+x)^\alpha,dx

$$

および

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^\alpha \to \int_0^1 x^\alpha,dx

$$

が成り立つ。

したがって、

$$ b= \frac{\int_0^1 (1+x)^\alpha,dx}{\int_0^1 x^\alpha,dx}

$$

となる。

各積分を計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 (1+x)^\alpha,dx &= \left[\frac{(1+x)^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right]_0^1 \\ \frac{2^{\alpha+1}-1}{\alpha+1} \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 x^\alpha,dx &= \left[\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right]_0^1 \\ \frac{1}{\alpha+1} \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} b= \frac{\dfrac{2^{\alpha+1}-1}{\alpha+1}}{\dfrac{1}{\alpha+1}} &= 2^{\alpha+1}-1 \end{aligned} $$

となる。

解法2

$$ S_n=1^\alpha+2^\alpha+\cdots+n^\alpha

$$

とおくと、分子は

$$ \begin{aligned} (n+1)^\alpha+(n+2)^\alpha+\cdots+(2n)^\alpha &= S_{2n}-S_n \end{aligned} $$

と書ける。

したがって、

$$ \begin{aligned} b=\lim_{n\to\infty}\frac{S_{2n}-S_n}{S_n} &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{S_{2n}}{S_n}-1\right) \end{aligned} $$

となる。

ここで $\alpha>0$ より、和の漸近評価

$$ S_n\sim \frac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1} \qquad (n\to\infty)

$$

が成り立つので、

$$ \begin{aligned} \frac{S_{2n}}{S_n} \sim \frac{\dfrac{(2n)^{\alpha+1}}{\alpha+1}}{\dfrac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1}} &= 2^{\alpha+1} \end{aligned} $$

である。よって

$$ b=2^{\alpha+1}-1

$$

を得る。

解説

この問題の本質は、べき和をそのまま扱うのではなく、$n^{\alpha+1}$ で割ってリーマン和に直すことである。分母は $\int_0^1 x^\alpha,dx$、分子は $\int_0^1 (1+x)^\alpha,dx$ に対応するので、極限は積分の比として自然に求まる。

また、分子が $S_{2n}-S_n$ と見えることに気づけば、べき和の基本的な漸近公式からも同じ結論に到達できる。

答え

$$ b=2^{\alpha+1}-1

$$