解説

方針・初手

共有点は $f(x)=g(x)$ から求める。増減はそれぞれ微分して調べる。

面積は、区間 $1\leqq x\leqq e$ において $f(x)-g(x)$ の符号が途中で変わるため、共有点 $x=2$ で積分区間を分ける。

解法1

まず共有点を求める。$x>0$ であるから、$f(x)=g(x)$ は

$$ \frac{\log x}{x}=\frac{2\log x}{x^2}

$$

である。両辺に $x^2$ をかけると、

$$ x\log x=2\log x

$$

すなわち

$$ (x-2)\log x=0

$$

となる。よって

$$ x=1,\ 2

$$

である。

それぞれの $y$ 座標は

$$ f(1)=g(1)=0

$$

および

$$ f(2)=g(2)=\frac{\log 2}{2}

$$

である。したがって共有点は

$$ (1,0),\ \left(2,\frac{\log 2}{2}\right)

$$

である。

次に増減を調べる。

$f(x)$ について、

$$ f(x)=\frac{\log x}{x}

$$

より、

$$ f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}

$$

である。$x^2>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $1-\log x$ の符号で決まる。

よって

$$ \begin{cases} f'(x)>0 & (0<x<e),\\ f'(x)=0 & (x=e),\\ f'(x)<0 & (x>e) \end{cases}

$$

である。したがって $f(x)$ は $0<x<e$ で増加し、$x>e$ で減少する。また、$x=e$ で極大値

$$ f(e)=\frac{1}{e}

$$

をとる。極小値は存在しない。

$g(x)$ について、

$$ g(x)=\frac{2\log x}{x^2}

$$

より、

$$ g'(x)=\frac{2(1-2\log x)}{x^3}

$$

である。$x^3>0$ であるから、$g'(x)$ の符号は $1-2\log x$ の符号で決まる。

よって

$$ \begin{cases} g'(x)>0 & (0<x<\sqrt{e}),\\ g'(x)=0 & (x=\sqrt{e}),\\ g'(x)<0 & (x>\sqrt{e}) \end{cases}

$$

である。したがって $g(x)$ は $0<x<\sqrt{e}$ で増加し、$x>\sqrt{e}$ で減少する。また、$x=\sqrt{e}$ で極大値

$$ g(\sqrt{e})=\frac{1}{e}

$$

をとる。極小値は存在しない。

グラフの位置関係を調べるため、

$$ f(x)-g(x)=\frac{\log x}{x}-\frac{2\log x}{x^2} =\frac{(x-2)\log x}{x^2}

$$

とする。$x^2>0$ より、符号は $(x-2)\log x$ で決まる。

したがって

$$ \begin{cases} f(x)>g(x) & (0<x<1),\\ f(x)<g(x) & (1<x<2),\\ f(x)>g(x) & (x>2) \end{cases}

$$

である。

また、

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=0

$$

であり、さらに

$$ g(x)=\frac{2}{x}\cdot\frac{\log x}{x}

$$

だから、

$$ \lim_{x\to\infty}g(x)=0

$$

である。一方、$x\to +0$ のときは $\log x\to -\infty$ であり、$f(x),g(x)$ はともに $-\infty$ に発散する。

以上より、グラフの概形は次のようになる。

$f(x)$ は $x\to +0$ で $-\infty$ から始まり、$(1,0)$ を通り、$x=e$ で最大値 $1/e$ をとり、その後減少して $0$ に近づく。

$g(x)$ は $x\to +0$ で $-\infty$ から始まり、$(1,0)$ を通り、$x=\sqrt{e}$ で最大値 $1/e$ をとり、その後減少し、$\left(2,\dfrac{\log 2}{2}\right)$ を通って $0$ に近づく。

最後に面積を求める。区間 $1\leqq x\leqq 2$ では $f(x)<g(x)$、区間 $2\leqq x\leqq e$ では $f(x)>g(x)$ であるから、求める面積を $S$ とすると、

$$ S=\int_1^2 {g(x)-f(x)},dx+\int_2^e {f(x)-g(x)},dx

$$

である。

ここで

$$ f(x)-g(x)=\frac{(x-2)\log x}{x^2} =\frac{\log x}{x}-\frac{2\log x}{x^2}

$$

である。原始関数を求めると、

$$ \int\left(\frac{\log x}{x}-\frac{2\log x}{x^2}\right),dx =\frac{1}{2}(\log x)^2+\frac{2(\log x+1)}{x}

$$

である。

これを

$$ F(x)=\frac{1}{2}(\log x)^2+\frac{2(\log x+1)}{x}

$$

とおくと、

$$ S={F(1)-F(2)}+{F(e)-F(2)}

$$

である。

各値を計算すると、

$$ F(1)=2

$$

$$ F(2)=\frac{1}{2}(\log 2)^2+\log 2+1

$$

$$ F(e)=\frac{1}{2}+\frac{4}{e}

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} S &=2+\left(\frac{1}{2}+\frac{4}{e}\right) -2\left\{\frac{1}{2}(\log 2)^2+\log 2+1\right\}\\ &=\frac{1}{2}+\frac{4}{e}-2\log 2-(\log 2)^2 \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題では、$f(x)-g(x)$ を

$$ f(x)-g(x)=\frac{(x-2)\log x}{x^2}

$$

と整理できることが重要である。共有点の計算と、上下関係の判定が同じ式で処理できる。

特に面積では、区間 $1\leqq x\leqq e$ 全体を考えるため、$x=2$ で上下が入れ替わることを見落としてはならない。単に $\int_1^e{f(x)-g(x)},dx$ とすると、面積ではなく符号付き面積になってしまう。

答え

**(1)**

$$ (1,0),\ \left(2,\frac{\log 2}{2}\right)

$$

**(2)**

$f(x)$ は $0<x<e$ で増加し、$x>e$ で減少する。$x=e$ で極大値

$$ \frac{1}{e}

$$

をとる。極小値は存在しない。

$g(x)$ は $0<x<\sqrt{e}$ で増加し、$x>\sqrt{e}$ で減少する。$x=\sqrt{e}$ で極大値

$$ \frac{1}{e}

$$

をとる。極小値は存在しない。

グラフは $x=1,2$ で交わり、$1<x<2$ では $g(x)>f(x)$、$x>2$ では $f(x)>g(x)$ である。

**(3)**

$$ \frac{1}{2}+\frac{4}{e}-2\log 2-(\log 2)^2

$$