解説

方針・初手

与えられた式は

$$ x=r\cos t,\qquad y=r\sin t,\qquad r=\sqrt{\cos 2t}

$$

の形であり、極座標表示とみるのが自然である。したがって曲線 $C$ は

$$ r^2=\cos 2t

$$

で表される曲線である。

この見方を使うと、（1） は $y=r\sin t$ を $t$ の関数として最大化すればよく、（2） は極座標の面積公式

$$ S=\frac12\int r^2,dt

$$

で処理できる。

解法1

**(1)**

$y$ の最大値を求める。

$t$ の範囲は $-\dfrac{\pi}{4}\le t\le \dfrac{\pi}{4}$ であり、この範囲では $\cos 2t\ge0$ だから $r=\sqrt{\cos 2t}$ は実数である。

まず

$$ y=\sqrt{\cos 2t}\sin t

$$

である。最大値を調べるために $y^2$ を考えると、

$$ y^2=\cos 2t\sin^2 t

$$

となる。ここで $\cos 2t=1-2\sin^2 t$ を用い、$u=\sin^2 t$ とおくと

$$ y^2=(1-2u)u=u-2u^2

$$

となる。

また $-\dfrac{\pi}{4}\le t\le \dfrac{\pi}{4}$ より

$$ 0\le u=\sin^2 t\le \frac12

$$

である。したがって、$y^2=u-2u^2$ の最大値を求めればよい。

$$ u-2u^2=-2\left(u-\frac14\right)^2+\frac18

$$

より、最大値は $u=\dfrac14$ のとき

$$ y^2=\frac18

$$

である。よって

$$ y_{\max}=\sqrt{\frac18}=\frac{1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}

$$

となる。

このとき $\sin^2 t=\dfrac14$ であり、最大値は $y>0$ のときに達するから

$$ \sin t=\frac12,\qquad t=\frac{\pi}{6}

$$

である。したがって、そのときの $x$ は

$$ x=\sqrt{\cos 2t}\cos t =\sqrt{\cos\frac{\pi}{3}}\cos\frac{\pi}{6} =\sqrt{\frac12}\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt6}{4}

$$

である。

以上より、

$$ y_{\max}=\frac{\sqrt2}{4},\qquad x=\frac{\sqrt6}{4}

$$

となる。

（2） 曲線 $C$ で囲まれた面積を求める。

この曲線は極方程式

$$ r^2=\cos 2t

$$

で表され、$-\dfrac{\pi}{4}\le t\le \dfrac{\pi}{4}$ でちょうど1つの閉じた部分を描く。したがって面積 $S$ は

$$ S=\frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}r^2,dt =\frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos 2t,dt

$$

である。計算すると

$$ S=\frac12\cdot\frac12\left[\sin 2t\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} =\frac14\left(\sin\frac{\pi}{2}-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) =\frac14(1-(-1)) =\frac12

$$

よって、求める面積は

$$ \frac12

$$

である。

解説

この問題の本質は、与えられた媒介変数表示をそのまま直交座標で処理するのではなく、

$$ x=r\cos t,\qquad y=r\sin t,\qquad r=\sqrt{\cos 2t}

$$

と見て極座標の問題に直すことである。

（1） では $y$ 自体を微分してもよいが、$\sqrt{\cos 2t}$ を含むのでやや煩雑である。$y>0$ の範囲で最大値を考えるなら、$y^2$ を最大化すると計算がかなり簡潔になる。

（2） では極座標の面積公式を使うのが最短であり、媒介変数表示から面積を積分するより見通しがよい。

答え

**(1)**

$$ y_{\max}=\frac{\sqrt2}{4}

$$

そのとき

$$ x=\frac{\sqrt6}{4}

$$

である。

**(2)**

曲線 $C$ で囲まれた図形の面積は

$$ \frac12

$$

である。